Гипергеометрическое уравнение (стр. 7 из 13)

= (k+s)z^k+s-1

= (k+s)(k+s-1)z^k+s-2

Подставляя (2.17) в уравнение (2.16) находим

z(1-z)

( z^k+s +[ -( + +1)z] ( z^k+s - z^k+s=0,

z(1-z)

( z^k+s-1(k+s)(k+s-1))+[ -( + +1)z] ( z^k+s-1(k+s))-

z^k+s=

=

( z^k+s-1(k+s)(k+s-1))- ( z^k+s(k+s)(k+s-1))+ ( z^k+s-1 (k+s))-

-

z^k+s( + +1)(k+s))- z^k+s =

=

z^k+s-1(k+s)(k+s-1+ )- z^k+s(s+k+ )(s+k+ )=0,

откуда для определения показателя s и

получается система уравнений

s(s-1-)=0,

(s+k)(s+k-1+ ) - (s+k-1+ )(s+k-1+ )=0,

k=1,2,…,

первое из которых дает s=0 или s=1-

1) Предположим, что

0,-1,-2,… и выберем s=0

Тогда для вычисления коэффициентов

получим реккурентное соотношение

= k=1,2,…,

откуда, если принять

=1, следует

= k=0,1,2,…,

где для сокращения записи введено обозначение

= ( +1)…( +k-1),

=1, k=1,2,…,

Таким образом первое частное решение уравнения (2.16) при

0,-1,-2,… будет

u=

= F( , , ,z)= z^k, <1 (2.18)

2) Аналогично, выбирая s=1-

получаем в предположении, что 2,3,4,…

= k=1,2,…,

откуда, если взять

=1 находим

=

k=0,1,2,…,

Таким образом, при

2,3,4,… уравнение (2.16) имеет второе частное решение

u=

= = F(1- + ,1- + ,2- ,z), (2.19)