Гипергеометрическое уравнение (стр. 13 из 13)
0, -1, -2,…, 
Общий интеграл уравнения (7.1) в этом случае может быть представлен в форме
u = AF(
, ,z)+BG( , ,z),(5.11) , 0, -1, -2,…, Функция G(
, ,z) обладает рядом свойств, аналогичных свойствам функции F( , ,z). Так, например, имеют место формулы дифференцирования:
G( , ,z)= - G( +1, +1,z) 
G( , ,z)= (-1)m 
G( +m, +m,z)(5.12)m=1,2,...
рекуррентные соотношения:
G-
G( 
+1)-G( -1)=0, (5.13)(
- )G+G( -1) -zG( +1)=0, (5.14)(
-1+z)G - G( -1)+( 
- +1)G( -1)=0, (5.15)(
+z)G+ ( - -1)G( +1)-zG( +1)=0, (5.16)G(
-1)+(2 - +z)G + ( - +1)G( +1)=0, (5.17)(
- -1)G( -1)- ( -1+z)G + zG( +1)=0, (5.18)G
G( , ,z), G( 
1) G( 1, ,z), G( 1) G( , 1,z)и так далее.
Справедливость этих формул вытекает из определения функции G и соответствующих свойств функции F.
5. Представление различных функций через вырожденные гипергеометрические функции
Как уже отмечалось, многие элементарные и специальные функции, встречающиеся в анализе, могут быть вырождены через функцию F(
, 
,z).Мы имеем, например,
1) F(
, ,z)= 
= 
так как
2) F(1,2,z)=
= 
,так как
3) F(-2,1,z)=
и так далее.
Литература
1. Балк М.Б. Математический анализ: теория аналитических функций.
2. Гурвиц А.И., Курант. Теория функций.
3. Евграфов Н.А. Аналитические функции.
4. Лебедев И.И. Специальные функции и их приложения.
5. Маркушевич. Введение в теорию аналитических функций.
6. Смирнов В.И. Курс высшей математики том 3,4.
7. Уиттекер, Ватсон. Курс современного анализа том 1,2
8. Фихтенгольд. Курс дифференциального и интегрального исчисления.
9. Фильчаков. Справочник по высшей математике.