Гипергеометрическое уравнение (стр. 11 из 13)

4. Дифференциальное уравнение для вырожденной гипергеометрической функции. Вырожденная гипергеометрическая функция второго рода

Покажем, что вырожденная гипергеометрическая функция является частным решением дифференциального уравнения

z

+( -z) - u=0, (5.1)

где

0,-1,-2,…

u= F(

, ,z)= z^k

= z^k-1

= z^k-2

Действительно, обозначая левую часть уравнения l(u) и пологаяu=

= F( , ,z), имеем

l(

) = z^k-2+( -z) z^k-1- z^k=

=[

- ]+ [k + -k- ] 0.

Чтобы получить второе линейное независимое решение рассматриваемого уравнения, предположим, что

, и выполним подстановку .

Уравнение (5.1) преобразуется тогда в уравнение того же вида

z

+( -z) - =0

с новыми значениями параметров

=1+ , =2- .Отсюда следует, что при 2,3,… функция также является решением уравнения (5.1).

Если

0, 1, 2,… оба решение ( ) имеют смысл и линейно независимы между собой, поэтому общий интеграл уравнения (5.1) может быть представлен в виде

u= F(

, ,z)+B F(1+ - ,2- ,z) (при =1 u= ) (5.2)

0, 1, 2,…

Чтобы получить выражение общего интеграла в форме, пригодной для любых значений (кроме

=0,-1,-2,…), удобнл ввести вырожденную гипергеометрическую функцию второго рода

G

, ,z)= F( , ,z)+ F(1+ - ,2- ,z) (5.3)

0, 1, 2,…

Формула (5.3) определяет функцию G

, ,z) для любых , отличных от целого числа. Покажем, что при n+1 (n=0,1,2,…) правая часть (5.3) стремиться к определенному пределу.Для доказательства заменим гипергеометрические функции соответствующими рядами и воспользуемся соотношением теории Г-функции.Тогда получим (5.4)

G

, ,z)= [ - ]=