Гипергеометрическое уравнение (стр. 10 из 13)

( +z)F- F( +1)-( - )zF( +1)=0 (4.9)

(

- )F( -1)+(2 - +z)F- F( +1)=0 (4.10)

( -1)F( -1)- ( -1+z)F+( - )zF( +1)=0 (4.11)

связывающие функцию F

F( , ,z) с двумя любыми смежными функциями

F(

1) F( 1, ,z) и F( 1) F( , 1,z)

Формулы (4.6) и (4.7) доказываются путем подстановки ряда (4.1) остальные рекуррентные соотношения получаются из них в результате простых алгебраических операций.

(

- -1)F+ F ( +1)-( -1)F( -1)=

=

{( - -1) + -( -1) }z^k=

=

{ - -1+ ( +k)- ( +k-1)} z^k=

=

{ - -1+ +k- -k+1)} z^k=0

F- F( -1)-zF( +1)=

=

{ - - } z^k=

=

{ ( +k-1)- ( -1)-k } z^k=

=

{ + k- - - -k } z^k=0.

Повторное применение рекуррентных формул приводит к линейным соотношениям, связывающим функцию F(

, ,z) с родственными функциями F( +m, +n,z), где m,n- заданные целые числа. Примерами подобных соотношений могут служить равенства:

F(

, ,z) = F( +1, ,z)- F( +1, +1,z) (4.12)

F(

, ,z)= F( , +1,z) + F( +1, +1,z) (4.13)