Основні властивості простору Соболєва (стр. 3 из 4)
При цьому
(1.9)Отриманий простір зі скалярним добутком позначається
а його поповнення – це, по визначенню, простір Соболєва 
Нехай
– фундаментальна послідовність у 
тобто 
при 
Звідси треба, що в 
будуть фундаментальними послідовності 
Внаслідок повноти
в є елементи, які ми позначимо 
так що при
в середньому
Елементи
називаються узагальненими частками похідними елемента 
Скалярний добуток і норма задаються в
тими ж формулами, що й в у які тепер похідні узагальнені, а інтегрування розуміється в змісті Лебега. Уведемо в розгляд простір 
Цей простір є поповненням у нормі 
(1.10)лінійного простору функцій, безупинно диференцюємих на
й таких, що 
є гильбертовим простором зі скалярним добутком 
Лема 3. Якщо
а 
те 
Доказ. Досить довести першу із цих формул. Вона справедлива, якщо
а 
Нехай 
– фундаментальна в 
послідовність, межу якої – елемент 
Переходячи в тотожності 
до межі при 
одержимо для будь-який Дійсно, зі збіжності в 
треба, що 
тобто безперервність скалярного добутку.
Нехай тепер
– фундаментальна послідовність у 
Перейдемо до межі в тотожності 
й одержимо вихідну тотожність.
Наслідок.
утримується строго усередині Дійсно, функція
Але 
інакше ми мали б 
тобто
для кожної
Візьмемо 
й одержимо протиріччя.Теорема 2 (Фридрихс). Існує постійна
така, що для будь-яких 
Доказ. По самому визначенню
всякий елемент із належить 
Нехай 
і сходиться в до Побудуємо куб
утримуючу область
Функції 
визначимо нулем у 
Частинна похідна 
існує всюди в 
за винятком, бути може, тих крапок, у яких пряма, паралельна осі абсцис, перетинає границю 
області 
Для будь-якої крапки 
маємо 
По нерівності Коші-Буняковського
Інтегруючи отриману нерівність по
знаходимо 
Тому що
поза 
те 
Переходячи до межі при
приходимо до доказуваної нерівності Фридрихса.Наслідок 1. Простір
вкладений в Це пропозиція безпосередньо випливає з визначення вкладення банахових просторів і нерівності Фридрихса.
Наслідок 2. У
норми (1.9) і (1.10) еквівалентні.Дійсно, використовуючи нерівність Фридрихса, маємо
2. Застосування просторів Соболєва в математичній фізиці
2.1 Доказ існування й одиничності узагальненого рішення рівняння Лапласа
Теорема 3 (Рисс). Нехай
– гильбертовий простір. Для будь-якого лінійного обмеженого функціонала 
заданого всюди на 
існує єдиний елемент 
такий, що для всіх 
При цьому
Доказ наведений в [1, стор. 171].
Теорема Рисса ефективно застосовується в теорії можливості розв'язання граничних задач для рівнянь із частками похідними. Будемо говорити, що гильбертовий простір
вкладений у гильбертовий простір якщо із 
треба, що 
причому існує постійна 
така, що для всіх