
- симплектическая база в

.
Предложение Пусть
- регулярное знакопеременное пространство и 
- его симплектическая база. Пусть

- максимальное вполне вырожденное пространство

. Тогда матричный изоморфизм, ассоциированный с

, отображает группу линейных преобразований

на группу матриц вида

где

- обратимая

-матрица, а

-матрица

удовлетворяет соотношению

.
Доказательство. Это легко проверяется надлежащим применением утверждения .
Теорема Теорема Витта Пусть
и
- изометричные регулярные знакопеременные пространства над одним и тем же полем
. Если
- произвольное подпространство пространства
и
- изометрия
в
, то ее можно продолжить до изометрии пространства
на
. Доказательство. Возьмем радикальное разложение

, и пусть

- база подпространства

(имеется в виду, что

, если

). Применяя к регулярному знакопеременному пространству

, мы видим, что в нем существует подпространство

вида

где

- регулярные плоскости и

,

. Так как

регулярно, то оно расщепляет

; следовательно, существует регулярное подпространство

пространства

, такое, что

Положим

,

и

для

. Тогда

Кроме того,

- радикальное разложение. Мы можем повторить предыдущие рассуждения и получить разложение

в котором

где

- регулярная плоскость и

для

. С помощью найдем изометрию пространства

на

, согласованную с

на каждом

, а следовательно, на

. Кроме того, данное

отображает

на

. Значит, существует продолжение изометрии

до изометрии пространства

на

. Далее

, так как

изометрично

, поэтому

и, следовательно, по теореме существует изометрия пространства

на

. Таким образом, существует продолжение изометрии

до изометрии пространства

на

.
Геометрическое преобразование

абстрактного векторного пространства

на абстрактное векторное пространство

- это биекция

со следующим свойством: подмножество

пространства

тогда и только тогда является подпространством в

, когда

- подпространство в

.
Очевидно, что композиция геометрических преобразований - геометрическое преобразование и преобразование, обратное к геометрическому, - также геометрическое. Геометрическое преобразование сохраняет включение, объединение и пересечение подпространств, а также ряды Жордана -- Гёльдера, поэтому справедливо следующее предложение.
Предложение Если
- геометрическое преобразование пространства
на
, то для любых подпространств
,
пространства
выполняются соотношения