Максимальные факторизации симплектических групп (стр. 8 из 19)

следует равенство

, поэтому регулярно.

Теорема Если

- регулярное знакопеременное пространство размерности

, то

В частности, регулярное знакопеременное пространство имеет четную размерность и дискриминант

. Кроме того, регулярные знакопеременные пространства одинаковой размерности над одним и тем же полем изометричны.

Доказательство. Ввиду регулярности пространства

существуют векторы и , удовлетворяющие условию . Так как , то эти векторы должны быть независимыми; поэтому - плоскость. Очевидно,

В частности,

регулярно, так как дискриминант отличен от нуля. Следовательно, ввиду . Но - также регулярное знакопеременное пространство. Первое утверждение следует теперь из соображений индукции. Второе тривиально следует из первого. Для доказательства третьего утверждения применяем . Теорема доказана.

База

регулярного знакопеременного пространства называется гиперболической, если

и симплектической, если

Если

- гиперболическая база пространства

, то перестановка

- симплектическая база, и наоборот. По теореме ненулевое регулярное знакопеременное пространство имеет гиперболическую базу, а потому и симплектическую базу.

Предложение Пусть

- регулярное знакопеременное пространство,

- вполне вырожденное подпространство и

- база подпространства

. Тогда существует регулярное подпространство

пространства

вида

, где

- регулярные плоскости и

,

.

Доказательство. Случай

очевиден. При применяем индукцию по . Положим и . Тогда , откуда ввиду . Выберем и положим . Тогда , , и, следовательно, . Значит, - регулярная плоскость, содержащая . В силу можно записать . Тогда , так как и следовательно, . Остается применить предположение индукции к рассматриваемому как подпространство знакопеременного пространства .

Предложение Если

- максимальное вполне вырожденное подпространство регулярного знакопеременного пространства

, то

.

Доказательство. Так как

вполне вырождено, то , поэтому ввиду , откуда . Если допустить, что , то несложное применение утверждений и даст вполне вырожденное подпространство, строго содержащее в противоречие с максимальностью . Поэтому .

Предложение Если

и

- максимальные вполне вырожденные подпространства регулярного знакопеременного пространства

, удовлетворяющие условию

, то для каждой базы

пространства М существует такая база

пространства

, что

- симплектическая база пространства

.

Доказательство. Разумеется,

(ввиду ). Пусть , - база подпространства . Тогда - база пространства . Пусть - сопряженная к ней база относительно (см. ). Поскольку , то элементы лежат в . Значит, - база пространства , а