Максимальные факторизации симплектических групп (стр. 6 из 19)

обратима
биективно,

поэтому (3) равносильно (5). Аналогично (3) равносильно (4). Далее

биективно
,

так что (5) равносильно (2). Наконец, очевидно, что (2) равносильно (1).

Определение Знакопеременное пространство

называется регулярным, если оно удовлетворяет одному из пяти равносильных условий . Знакопеременное пространство

называется вырожденным, если оно не является регулярным. Наконец, оно называется вполне вырожденным, если

.

Если

, то регулярно. Если , то ввиду и

Предложение Пусть

- представление знакопеременных пространств. Если

регулярно, то

- изометрия.

Доказательство. Возьмем

из ядра представления . Тогда . Отсюда ввиду регулярности пространства получаем, что .

Предложение Каждой базе

регулярного знакопеременного пространства

соответствует единственная база

этого пространства, называемая сопряженной к

относительно

и такая, что

для всех

,

. Если

в

и

в

, то

.

Доказательство. 1) Положим

для , где - сопряженная к база сопряженного пространства . Тогда - база, так как биективно. Кроме того,

Этим доказано существование базы

. Единственность непосредственно следует из регулярности.

2) Пусть

. Тогда и

Отсюда

, так что и .

Рассмотрим знакопеременное пространство

со знакопеременной формой . Будем говорить, что имеет ортогональное разложение

на подпространства

если оно является прямой суммой с попарно ортогональными , т. е. при . Назовем компонентами этого ортогонального разложения. Будем говорить, что подпространство расщепляет или что является компонентой пространства , если существует подпространство пространства , такое, что . Имеем

где произведение берется в

.

Рассмотрим два знакопеременных пространства

и над одним и тем же полем и предположим, что имеется ортогональное разложение , а - сумма пространств , , причем при . Пусть для каждого , , задано представление . Тогда, как известно из линейной алгебры, существует единственное линейное преобразование , согласующееся с каждым на . На самом деле легко проверить, что - представление. Мы будем записывать его в виде