Максимальные факторизации симплектических групп (стр. 6 из 19)
 |  |
 обратима  | |
 биективно, |
поэтому (3) равносильно (5). Аналогично (3) равносильно (4). Далее
 биективно |  |
 | |
 | |
 | |
 , |
так что (5) равносильно (2). Наконец, очевидно, что (2) равносильно (1).
Определение Знакопеременное пространство
называется регулярным, если оно удовлетворяет одному из пяти равносильных условий . Знакопеременное пространство называется вырожденным, если оно не является регулярным. Наконец, оно называется вполне вырожденным, если 
. Если
, то регулярно. Если 
, то ввиду и 
- представление знакопеременных пространств. Если регулярно, то 
- изометрия. Доказательство. Возьмем
из ядра представления . Тогда 
. Отсюда ввиду регулярности пространства получаем, что 
. 
регулярного знакопеременного пространства соответствует единственная база 
этого пространства, называемая сопряженной к 
относительно 
и такая, что 
для всех 
, 
. Если 
в и 
в 
, то 
. Доказательство. 1) Положим
для 
, где 
- сопряженная к база сопряженного пространства 
. Тогда 
- база, так как биективно. Кроме того, 
Этим доказано существование базы
. Единственность непосредственно следует из регулярности.2) Пусть
. Тогда 
и 
Отсюда
, так что 
и .Рассмотрим знакопеременное пространство
со знакопеременной формой . Будем говорить, что имеет ортогональное разложение 
на подпространства
если оно является прямой суммой 
с попарно ортогональными 
, т. е. 
при 
. Назовем компонентами этого ортогонального разложения. Будем говорить, что подпространство 
расщепляет или что является компонентой пространства , если существует подпространство 
пространства , такое, что 
. Имеем 
где произведение берется в
.Рассмотрим два знакопеременных пространства
и над одним и тем же полем 
и предположим, что имеется ортогональное разложение , а - сумма пространств 
, 
, причем 
при . Пусть для каждого , 
, задано представление 
. Тогда, как известно из линейной алгебры, существует единственное линейное преобразование , согласующееся с каждым 
на 
. На самом деле легко проверить, что - представление. Мы будем записывать его в виде