Максимальные факторизации симплектических групп (стр. 18 из 19)

Хорошо известно, что при

, и всегда есть примитивный простой делитель числа . Пусть , где - простое число, - целое положительное число. Обозначим наибольший примитивный простой делитель числа (так, что делит и не делит для ). Определим как произведение всех примитивных простых делителей . Мы будем рассматривать максимальные факторизации группы . Отметим, что

Теорема Пусть

, где

- нечетное число. Если

, где

и

- максимальные подгруппы группы

, тогда

, где

- максимальная параболическая подгруппа группы

, изоморфная

и имеющая порядок

Доказательство. Предположим, что

делит . Из следует, что является одной из следующих групп , , или . Пусть сначала . В этом случае . Из следует, что это в точности максимальная параболическая подгруппа группы и . Из сравнения порядков группы и произведения получаем следующую максимальную факторизацию:

Пусть теперь

является одной из следующих групп , или . Из сказанного выше следует, что не изоморфна . Из пункта 2.4 получим, что есть или . По теореме 2.4D есть 3 или 7. Если , тогда 5 делит . В этом случае из следует, что одна из групп , , . Поскольку , то делит . Однако не делится на . Противоречие с тем, что . Следовательно, и . Так как 27 делит , то является параболической подгруппой группы и имеет место факторизация:

Теорема доказана.

Пусть

, где - положительное число. Тогда ортогональная группа и . обозначает сплетение группы с группой , т.е. , где . Очевидно, что ; - максимальная параболическая подгруппа в порядка ; - группа Судзуки порядка , где .

Лемма Пусть

. Тогда

Доказательство. Из следует, что

является максимальной подгруппой в . Пусть и . Обозначим