Максимальные факторизации симплектических групп (стр. 17 из 19)

1)

,

2) для некоторого

стабилизатор содержит такую нормальную абелеву подгруппу , что порождается подгруппами , .

Для доказательства теоремы с использованием этого результата рассмотрим

как группу подстановок множества прямых пространства . Это возможно ввиду того, что , будучи подгруппой группы проективностей пространства , точно действует на и, значит, естественно изоморфна группе подстановок множества . Мы знаем, что группа транзитивна (теорема Витта), (см. ) и, наконец, множество проективных трансвекций из с вычетной прямой вместе с тождественным преобразованием образует нормальную абелеву подгруппу стабилизатора прямой в , которая вместе со своими сопряженными в порождает группу . Поэтому все, что осталось сделать, прежде чем сослаться на , - это проверить, что группа примитивна.

Предложение При

группа

подстановок множества

прямых пространства

примитивна.

Доказательство. 1) Рассмотрим разбиение

множества , содержащее по крайней мере два подмножества, одно из которых, скажем , содержит не менее двух прямых. Нам нужно найти элемент группы , не сохраняющий это разбиение. Допустим, что такого элемента не существует.

2) Пусть сначала

содержит две различные не ортогональные прямые , . Тогда каждые две различные прямые , из должны быть не ортогональны. В самом деле, если это не так, то найдутся различные , из , такие, что . Возьмем прямую из , не принадлежащую подмножеству . Если , то по теореме Витта существует такое преобразование из , что , , и, следовательно, оно нарушает разбиение. Если , то снова по теореме Витта имеется такое , что , и, значит, опять нарушает разбиение. Итак, никакие две различные прямые из не является ортогональными. Только что проведенные рассуждения показывают, что если - произвольная прямая из , то содержит все прямые из , не ортогональные к . Теперь очевидно, что можно найти в прямую , не ортогональную к , но ортогональную к тогда первое условие влечет за собой, что , а второе - что , - противоречие.

3) Мы можем, таким образом, считать, что все прямые из

попарно ортогональны. Рассуждения, использованные в п. 2), показывают тогда, что если - произвольная прямая из , то содержит все прямые, ортогональные к , а это невозможно. Предложение доказано.

Основные результаты

Пусть

- конечная группа, и - подгруппы группы . Будем говорить, что группа допускает факторизацию , если для всякого имеет место равенство , где , . Факторизация называется максимальной, если и максимальные подгруппы в группе . Мы рассмотрим максимальные факторизации симплектической группы , определенной над конечным полем .

Пусть

и - целые числа, , . Если - простое число, делящее и не делящее числа для , то называют примитивным простым делителем числа .