Максимальные факторизации симплектических групп (стр. 14 из 19)
Коммутанты
Предложение Если 
, 
- произвольные прямые из 
, то множество трансвекций из 
с вычетной прямой и множество трансвекций с вычетной прямой сопряжены относительно .
Доказательство. По теореме Витта в группе
существует такой элемент 
, что 
. Тогда сопряжение элементом отображает множество трансвекций из с вычетной прямой на множество трансвекций из с вычетной прямой .Пример Две трансвекций из не обязательно сопряжены в . Например, трансвекций с вычетной прямой 
, сопряженные с 
, имеют вид 
, где 
пробегает 
.
Замечание Пусть 
- симплектическая база пространства 
. Если 
- произвольная симметрическая матрица порядка 
2 над 
и 
- линейное преобразование, определенное матрицей
то мы знаем, что
принадлежит группе . Если преобразовать в 
, производя 1) прибавление кратного одного столбца к другому с последующим аналогичным преобразованием соответствующих строк или 2) перестановку двух столбцов с последующей перестановкой соответствующих строк, то линейное преобразование 
с матрицей 
снова будет принадлежать группе
, так как тоже будет симметрической. В действительности и сопряжены в . Чтобы убедиться в этом, заметим, что 
при подходящей матрице 
из 
. Преобразование , определенное матрицей 
принадлежит группе
, и 
, так как 
Предложение Предположим, что 
, 
, 
и пусть 
- нормальная подгруппа группы , содержащая регулярный элемент с вычетом 
, представимый в виде произведения двух трансвекций из . Тогда 
.
Доказательство. Имеем разложение
, где 
- регулярная плоскость. Рассмотрим группу 
Тогда
. Кроме того, 
. Это очевидно, если 
; если же 
, то применяем 2.1.12 и теорему 2.1.11 . Поэтому 
- нормальная подгруппа в 
, не содержащаяся в 
. Отсюда следует, что 
. В частности, если - фиксированная прямая в , то содержит все трансвекции плоскости с вычетной прямой . Следовательно, содержит все трансвекции из с вычетной прямой , а потому в силу вообще все трансвекции из и .Предложение Предположим, что , 
или 
, 
, и пусть - нормальная подгруппа группы , содержащая вырожденный элемент с вычетом 2, представимый в виде произведения двух трансвекций из . Тогда .