Максимальные факторизации симплектических групп (стр. 12 из 19)

Доказательство. Если

, то утверждение очевидно. Остается доказать обратное утверждение. Так как регулярно относительно и , то ввиду и ассоциированные линейные отображения и биективны, т. е. и . Из и предположения о том, что и определяют одну и ту же полярность, следует, что для всех подпространств из . Следовательно, - элемент группы , относительно которого инвариантны все подпространства из , В частности, относительно него инвариантны все прямые из . Значит, ввиду . Другими словами, найдется такой ненулевой элемент из , что для всех из . Но тогда для всех из . Поэтому .

Структурные теоремы. Порядки симплектических групп

Предложение Если поле

бесконечно, то группы

,

над

также бесконечны.

Доказательство. Число трансвекций

из бесконечно.

Теорема Порядок группы

равен

Порядок группы

равен

Доказательство. Второе утверждение следует из первого, так как группа

изоморфна группе . Докажем первое утверждение индукцией по . Если , то и можно считать .

Под парой будем понимать упорядоченную пару векторов

, , такую, что . Если фиксирован, то существует единственная пара , где принадлежит данной прямой, не ортогональной к . Поэтому число пар с на первом месте равно числу прямых, не лежащих в , т. е.

Таким образом, имеется

пар с на первом месте, а всего пар.

Зафиксируем какую-нибудь пару

. По теореме Витта для каждой пары найдется по крайней мере один элемент группы , переводящий в . Следовательно, имеется точно

элементов из

, переводящих пару в пару . По предположению индукции это число равно

Далее, каждый элемент группы

переводит точно в одну пару. Следовательно, группа содержит

элементов, что и требовалось доказать.

Предложение Если

, то число максимальных вполне вырожденных подпространств пространства

равно

Доказательство. 1) Покажем сначала, что подгруппа

группы , оставляющая на месте произвольное максимальное вполне вырожденное подпространство пространства , имеет порядок

Чтобы убедиться в этом, зафиксируем симплектическую базу

пространства

, в которой векторы порождают . Из следует, что матрица произвольного преобразования имеет вид