Максимальные факторизации симплектических групп (стр. 11 из 19)

Проективность пространства

есть по определению проективность этого пространства на себя. Множество проективностей пространства - подгруппа группы подстановок множества , которую мы будем называть общей группой проективностей пространства . Применение черты индуцирует гомоморфизм

Иногда мы будем использовать

вместо , полагая

для образа

подмножества из при . В частности, и - подгруппы группы проективностей пространства , они называются проективной общей линейной группой и проективной специальной линейной группой пространства . Было доказано, что совпадает с группой всех проективностей пространства , поэтому мы используем это обозначение для обеих групп. Под группой проективностей пространства будем понимать любую подгруппу группы , а под проективной группой линейных преобразований пространства - любую подгруппу группы .

Для каждого ненулевого элемента

из определим линейное преобразование , полагая

Ясно, что

. Преобразование из вида для некоторого будем называть растяжением пространства . Множество растяжений пространства является нормальной подгруппой группы , которая будет обозначаться через . Очевидно, имеет место изоморфизм . Имеют место следующие два предложения.

Предложение Элемент

группы

тогда и только тогда принадлежит группе

, когда

для всех прямых

из

. В частности,

и

Предложение Централизатор в

любого элемента из

, не являющегося растяжением, абелев.

Пусть теперь

- регулярное знакопеременное пространство. Тогда будет, конечно, группой геометрических преобразований пространства . Под группой симплектических преобразований знакопеременного пространства мы будем понимать произвольную подгруппу из . Группа , получаемая из применением гомоморфизма , называется проективной симплектической группой знакопеременного пространства . Под проективной группой симплектических преобразований пространства будем понимать любую подгруппу группы .

Предложение Если

- ненулевое регулярное знакопеременное пространство, то

Доказательство является легким упражнением и потому опускается.

Предложение Если

- регулярное знакопеременное пространство и

, то

.

Доказательство. Взяв симплектическую базу пространства

, с помощью без труда убеждаемся, что элемент из тогда и только тогда лежит в , когда .

Полярностью абстрактного векторного пространства

над полем называется биекция , , такая, что

1)

,

2)

для всех

, из . Если - регулярное знакопеременное пространство над , то, очевидно, - полярность; она называется полярностью, определенной знакопеременной формой

, имеющейся на

.

Предложение Пусть

- абстрактное векторное пространство над полем

и

. Предположим, что

- регулярное знакопеременное пространство относительно каждой из двух знакопеременных форм

и

. Формы

и

тогда и только тогда определяют одну и ту же полярность, когда найдется такой ненулевой элемент

из

, что

.