Максимальные факторизации симплектических групп (стр. 10 из 19)

Под проективным пространством

пространства мы будем понимать множество всех подпространств пространства . Таким образом, состоит из элементов множества , являющихся подпространствами в ; - это частично упорядоченное множество, отношение порядка в котором индуцируется теоретико-множественным включением в . Любые два элемента и из имеют объединение и пересечение, а именно и , так что - решетка; она имеет наибольший элемент и наименьший элемент . Каждому элементу пространства сопоставляется число . Каждое из обладает рядом Жордана -- Гёльдера , и все такие ряды имеют длину . Положим

и назовем

, , множествами прямых, плоскостей и гиперплоскостей пространства соответственно.

Проективность

пространства на - это биекция со следующим свойством: для любых , из включение имеет место тогда и только тогда, когда .

Очевидно, что композиция проективностей - проективность и отображение, обратное к проективности, - также проективность. Проективность пространства

на сохраняет порядок, объединения, пересечения и ряды Жордана -- Гёльдера для элементов пространств и , поэтому справедливо следующее предложение.

Предложение Если

- проективность пространства

на

, то для любых элементов

,

из

выполняются соотношения

В частности,

отображает на и определяется своими значениями на , т. е. на прямых.

Если

- геометрическое преобразование, то отображение , полученное из сужением, является проективностью пространства на . Всякая проективность , имеющая вид для некоторого такого , будет называться проективным геометрическим преобразованием пространства на . Черту мы будем всегда использовать для обозначения проективного геометрического преобразования , полученного описанным способом из геометрического преобразования . Таким образом, переводит подпространство пространства , т.е. точку из , в подпространство пространства . Имеем

В частности, композиция проективных геометрических преобразований и преобразование, обратное к проективному геометрическому, сами являются проективными геометрическими.

Геометрическое преобразование пространства

есть по определению геометрическое преобразование пространства на себя. Множество геометрических преобразований пространства является подгруппой группы подстановок множества . Она будет обозначаться через и называться общей геометрической группой пространства . Под группой геометрических преобразований пространства мы будем понимать произвольную подгруппу группы . Общая линейная группа и специальная линейная группа являются, следовательно, группами геометрических преобразований. Под группой линейных преобразований будем понимать любую подгруппу группы .