Інтегральні характеристики векторних полів (стр. 2 из 4)

,

де

– діелектрична проникність середовища, .

Якщо в системі координат

, а , то вираз (5) для потоку векторного поля можна записати у вигляді

. (6)

Кожен доданок у правій частині рівності (6) залежить від вибору системи координат, проте їх сума, тобто потік

, очевидно, не залежить від вибору системи координат.

3. Формула Остроградського-Гаусса в векторній формі

Нехай в області

визначено векторне поле ; – замкнена поверхня, яка обмежує область ; – одиничний вектор зовнішньої нормалі до поверхні у точці .

Нехай, далі,

та їхні частинні похідні неперервні в області . Тоді справедлива формула Остроградського-Гаусса:

. (7)

Підінтегральна функція в потрійному інтегралі є

, а поверхневий інтеграл – потік векторного поля через поверхню . Тому формулу (7) можна записати у векторній формі:

. (8)

Фізичний зміст формули Остроградського-Гаусса: потік векторного поля

через замкнену поверхню в сторону зовнішньої нормалі дорівнює потрійному інтегралу по області, обмеженій цією поверхнею, від дивергенції векторного поля . Щоб потік був відмінним від нуля, всередині області мають бути джерела (або стоки) поля. Із формули Остроградського-Гаусса випливає, що тоді є відмінною від нуля. Таким чином, характеризує джерела поля. Само векторне поле як би розходиться від джерел. Звідси і походить назва «розбіжність» або «дивергенція».

4. Властивості соленоїдального поля

Як відомо, векторне поле

, яке задовольняє в області умову , називається соленоїдальним в цій області. Нехай область є об’ємно однозв’язною. Це означає, що, якщо кусково-гладка замкнена поверхня лежить в області , то і область, яка обмежує поверхню , цілком належить області . Прикладами об’ємно однозв’язних областей є куля, паралелепіпед, тор. Відзначимо, що тор не є поверхнево однозв’язною областю. Область, яка знаходиться між двома сферами, не є об’ємно однозв’язною (але є поверхнево однозв’язною).

Із формули Остроградського-Гаусса випливає, що соленоїдальне поле в взаємно однозв’язній області має таку властивість: потік соленоїдального поля через довільну замкнену поверхню, яка знаходиться в цій області, дорівнює нулю.

Відзначимо, що, якщо область не є об’ємно однозв’язною, то потік соленоїдального (в цій області) поля через замкнену поверхню, яка знаходиться в області, може бути відмінним від нуля. Так електричне поле

точкового заряду, який міститься в точці , є соленоїдальним в кулі з викинутим центром ( при ).

Слово «соленоїдальне» означає «трубасте». Для соленоїдального поля є справедливим закон збереження інтенсивності векторної трубки. З’ясуємо суть цього закону.

Нехай

– соленоїдальне поле. Розглянемо відрізок «векторної трубки», тобто область, обмежену двома перерізами і та боковою поверхнею , яка складається із векторних ліній (рис. 1). Застосуємо до такої області формулу Остроградського-Гаусса (8). Оскільки в соленоїдальному полі , то потік векторного поля через поверхню області дорівнює нулю: ( – одиничний вектор зовнішньої нормалі). На боковій поверхні маємо , тому .

Отже,

.

Рисунок 1 – Відрізок «векторної трубки»

Змінимо на перерізі

напрям нормалі на протилежний ( – внутрішня нормаль до ). Тоді отримаємо

,

де обидва потоки через перерізи

і обчислюються в напрямі векторних ліній.

Таким чином, у соленоїдальному (трубчастому) векторному полі

потік через будь-який переріз векторної трубки набуває одного й того самого значення. Це і є закон збереження інтенсивності збереження векторної трубки.

5. Інваріантне означення дивергенції

Нехай в області

, обмеженій поверхнею , визначено векторне поле . Запишемо формулу (8) для векторного поля в області . Застосовуючи до лівої частини цієї формули теорему про середнє, отримаємо