Численное решение краевых задач для двумерного уравнения колебания (стр. 6 из 10)
Нетрудно заметить, что схема (2.12) является условно устойчивой и симметризуется так, чтобы
и 
менялись ролями от шага к шагу 
(2.13)Если в схему (2.23) счет повторяется при переходе с j–го слоя на (j+2)-й, то (j+1)-й слоя выступает в роли вспомогательного слоя.
Поэтому, введя дробные моменты времени
, схему (2.13) можно переписать в виде 
(2.14)Путем исключения вспомогательных функций в дробные моменты времени получаем эквивалентную ей однородную схему
(2.15)Схема (2.15) и эквивалентная ей схема (2.14) аппроксимируют уравнение (2.11), как и схема
.Безусловная устойчивость схемы (2.15) или (2.14) устанавливается методом Неймана. Схема (2.14) решается двумя одномерными прогонками, что не только упрощает алгоритм счета, но и уменьшает объем вычислений. Из (2.13) или (2.14) видно, что методы Писмена, Рэкфорда и Дугласа предполагают обязательную аппроксимацию дифференциального уравнения по каждому направлению. Они представляют неявный метод переменных направлений.
Заметим, что этот метод не годится для пространства нечетного числа измерений. Например, при р=3 интегрирование в каждом направлении
происходит один раз неявно, а явно. Тогда возрастание ошибки в явной схеме не компенсируется убыванием ее в неявной схеме. Это подтверждается точным анализом устойчивости при р=3. Заметим также, что метод переменных направлений не годится для уравнений со смешанными производными даже при р=2.Для решения трехмерного уравнения (2.2) в работе J.Douglas, H.Rachfozd была предложена следующая схема:
(2.16)Методом исключения функций в дробные моменты времени показывается аппроксимация, а методом Неймана устанавливается устойчивость. Из (2.16) видно, что первое уравнение дает полную аппроксимацию уравнения (2.11)(p= 3), а следующие два уравнения дают поправку на устойчивость. Такие схемы называются схемами стабилизируюшей поправки или схемами с поправкой на устойчивость.
В основу работ советских авторов положен метод расщепления сложных разностных операторов на более простые. При таком подходе, схемы дробных шагов обязаны удовлетворять условиям аппроксимации и устойчивости только на целом шаге.
Ниже будет показано, что это дает возможность построения гибких разностных схем для многомерных задач математической физики.- Первой в этом направлении является работа А.А.Багриновского, С.К.Годунова, где был предложен метод расщепления многомерных разностных уравнений, аппроксимирующих системы гиперболических уравнений, путем сведения их к простейшим разностным схемам. Такой метод Н.Н.Яненко называет методом расщепления. Идею метода покажем на примере уравнения (2.2), которое аппроксимируется явной схемой вида
(2.17)Схема (2.17) заменяется "расщепленной" схемой
. (2.18)Действительно, просуммировав (2.18) по
, получим схему (2.17). Однако, практически явная растепленная схема (2.16) не имеет преимуществ по сравнению многомерной схемой (2.17) ни в точности, ни в объеме вычислительной работы. Отсюда видно, что метод расщепления может быть эффективным только в сочетании с неявными схемами указанные выше затруднения метода переменных направлений и явного метода расщепления впервые были устранены в работе Н.Н.Ясненко, где автор использует на каждом дробном шаге только неявные операторы. На каждом дробном шаге в правой части аппроксимируется оператор 
полная аппроксимация достигается только на полном шаге.Неявный метод расщепления для уравнения (2.11) (например, при р=3) имеет вид:
(2.19)При методе исключения величин
на промежуточных дробных шагах видно, что схема (2.19) аппроксимирует уравнение (2.11). Безусловная устойчивость показывается методом Неймана. Схема (2.19) при 
удовлетворяет принципу экстремума, поэтому решение схемы (2.29) сходится в пространстве С к решению дифференциального уравнения (2.11). В работах для повышения точности решения используются схемы с весами. Метод расщепления был применен Н.Н.Яненко для уравнений теплопроводности со смешанными производными, доказана общая теорема сходимости для системы линейных уравнений параболического типа с постоянными и переменными коэффициентами.Метод расщепления был обоснован Г.И.Марчуком для приближенного интегрирования нерегулярных систем в динамической метрологии, при решении многомерных кинетических уравнений Больцмана. Для некоторых динамических и статических задач теории упругости метод расщепления был сформулирован и обоснован впервые А.Н.Коноваловым. G.A. Baker, J.А. Oliphant предложили метод факторизации разностного оператора для интегрирования уравнения типа (2.11). Уравнение (2.11) (р = 2) аппроксимируется схемой вида:
(2.20)где
- разностный оператор на старшем слое, 
- результат применения разностных операторов на младших слоях.Если ограничиться рассмотрением девятиточечных операторов, то можно выбрать оператор
так, чтобы его можно было представить в виде произведения двух трехточечных операторов А и В.Схема (2.20) возникла из трехслойной аппроксимации
уравнение (2.11), где
- некоторый девятиточечный оператор. В этом случае 
. (2.21)При этом оператор
подбирается так, чтобы аппроксимация 
имела второй порядок точности и оператор
из (2.21) представлялся в виде произведения двух трехточечных операторов. Тогда уравнение (2.20) можно представить в виде двух уравнений: 
каждое из которых решается алгоритмом линейной прогонки.Н.Н.Яненко в работе обосновал метод приближенной факторизации разностного оператора на примере уравнения (2.11). Рассматривается разностное уравнение
которое представляется в виде
(2.22)Оператор
факторизуется приближенно с точностью членов порядка 
(2.23)Схема (2.22) заменяется факторизованной схемой
Водятся вспомогательные величины
с помощью неравенств 
Отсюда видно, что схема (2.24) является схемой расщепления, эквивалентной схеме приближенной факторизации оператора (2.23).
Следует заметить, что схема точной факторизации оператора не применима в случае уравнения диффузии с переменными коэффициентами, так как при этом потребуются дополнительные итерации, в то время как метод приближенной факторизации остается в силе и для уравнений о переменными, коэффициентами. Для решения уравнения (2.11) (р=з) в работе была предложена абсолютно устойчивая схема, получаемая из схемы стабилизирующей поправки применением приема предиктора-корректора (пересчет), которая имеет вид:
(2.25а) 
(2.25б) 
(2.25в) 
(2.25г)Уравнения (2.25а, б, в) представляют собой предиктор (схему стабилизирующей поправки), уравнение (2.25г) - корректор.