Численное решение краевых задач для двумерного уравнения колебания (стр. 5 из 10)

Если в уравнении (2.4)

, то получаем явную схему

которую перепишем в виде

В этом случае обращается диагональная матрица, требующая лишь 0(N) арифметических операций.

Условием устойчивости схемы (2.4)-(2.6) будет

Отсюда видно, что условием устойчивости явной схемы будет

Из условия (2.7) видно, что схемы о

, в том числе чисто неявная схема при и симметричная схема при , абсолютно устойчивы.

Если имеем уравнение с переменными коэффициентами, т.е.

(2.8)

то

Условие устойчивости схемы (2.4)-(2.6) с эллиптическим оператором (2.8) имеет вид

Отсюда получаем условие устойчивости явной схемы в виде

(2.9)

Условие устойчивости (2.9) налагает весьма жесткие ограничения на шаг по времени

и выход на заданный момент времени по явной схеме требует неоправданно большого числа временных шагов.

Из условия (2.9) видно, что выбор шага

существенно зависит от количества пространственных переменных р и от величины М. С ростом числа р и для быстро меняющегося коэффициента теплопроводности K=K(x,t) шаг становится еще мельче. В этом случае схема (2.4)-(2.6) при становится неэффективной, так как выход на заданный момент времени t=T требует слишком большого числа временных шагов.

Чисто неявная схема (

) (2.4)-(2.6) абсолютно устойчива, т.е. на параметры сетки h и не налагаются ограничения. Поэтому счет можно вести более крупными шагами hи и тем самым удается значительно понизить порядок системы, уменьшить количество временных шагов, необходимых для достижения момента времени t = Т .

В неявных схемах придется решать системы алгебраических уравнений, как правило, высокого порядка и с разреженными матрицами. Итак, реализация систем алгебраических уравнений для многомерных задач в общем случае представляется невозможной из-за громоздкости порядка системы (проблема памяти ЭВМ), большого объема арифметических операций.

Таким образом, лучшими качествами явной и неявной схем являются количество арифметических операций, равное 0(N) в явной схеме, и абсолютная устойчивость неявной схемы, недостатками - условная устойчивость явной схемы и большое количество арифметических операций в неявной схеме. Отсюда ясно, что если построим разностные схемы, сочетающие в себе лучшие качества обычных явных и неявных разностных схем, то можно эффективно решать многомерные задачи математической физики.

Итак, безусловная (абсолютная) устойчивость и независимость количества арифметических операций, требуемые для вычисления приближенного решения задачи в отдельной точке сетки от общего количества узлов сеточной области, определяют класс экономичных схем.

Уравнение (2.1) можно аппроксимировать по-другому, стремясь упростить вычислительный процесс. Уравнение (2.1) аппроксимируем разностным уравнением

В этой схеме аппроксимация по первому направлению неявная, а по всем остальным - явная.

Реализация этой схемы идет по направлению

, как в одномерном случае методом линейной прогонки, затратой арифметических операций порядка . Однако схемы (2.10), (2.5), (2.5) условно устойчивы. Таким образом, из требований экономичности разностной схемы первое условие не выполнено, а второе - выполнено. Поэтому схемы типа (2.10), (2.5), (2.6) не относятся к классу экономичных схем, они конструируются специальным образом.

2. Достижением вычислительной математики является разработка экономичных методов решения многомерных краевых задач математической физики. Первые экономичные схемы были схемами в дробных шагах по времени t. Они предложены и обоснованы в 1955 г. одновременно американскими учеными D.W. Peacemdn , H.H.Rachford и J.Douglas.

Характерной особенностью экономичных схем этого периода является то, что все они основывались на идее ведения дробных моментов времени и поэтапном решении р задач в промежутках

. Решением исходной задачи будет решение последней р -й задачи в момент времени . Решения остальных (р-1) задач являются вспомогательными в моменты времени . Таким образом, наряду с основной сеткой по рассматривается вспомогательная сетка . Все экономичные схемы этого периода относятся к схемам последовательного перехода по времени t. Следуя Н. Н. Яненко, назовем их методом дробных шагов.

В 1965г. А. А. Самарский предложил и обосновал экономичный метод без привлечения вспомогательной сетки

, т.е. экономичная схема конструируется на исходной сетке . Таким образом, характерной областью экономичных схем этого периода является то, что сетка не вводится, вспомогательные функции рассматриваются на верхнем слое. Составная схема конструируется на исходной сетке . Как будет показано ниже, отказ от вспомогательной сетки дает широкие возможности для построения различных экономичных схем и тем самым удается значительно расширить их класс. Экономичные методы, построенные на такой основе, назовем методом целых шагов. На основе метода целых шагов строятся экономичные схемы последовательного и параллельного (одновременного) перехода с нижнего слоя на верхний слой по t.

Любая разностная схема, моделирующая исходную дифференциальную краевую задачу, должна удовлетворять данным условиям устойчивости, аппроксимации на решение исходной задачи и простоты. Если эти требования для одномерной разностной схемы выполняются сравнительно легко, то при переходе к двумерной (многомерной) задаче возникают значительные трудности.

Перед вычислительной математикой встала сложная задача построения экономичных методов решения многомерных задач математической физики. Стало невозможным разрешить эту проблему на базе однородных разностных схем, где при переходе от одного временного слоя к другому одновременно удовлетворяются условия устойчивости и аппроксимации. При этом, конечно, формула получается более простой, но схема становится менее гибкой и имеет в своем распоряжении небольшое количество произвольных параметров, что создает основные трудности выполнения вышеописанных требований. Экономичные схемы, расчленяя переход от нижнего слоя к верхнему на ряд промежуточных этапов и не требуя на каждом этапе обязательного выполнения свойств аппроксимации исходного уравнения и устойчивости, имеют в своем распоряжении набор параметров, что дает возможность выбора наиболее эффективного вычислительного алгоритма.

Пусть имеем уравнение теплопроводности

Разрабатывая в 1955г. первые экономичные схемы переменных направления, Писмен, Рэкфорд и Дуглас имели в виду упростить решение алгебраической системы уравнений высокого порядка, сохранить абсолютную устойчивость и приемлемую точность, тем самым удовлетворили до некоторой степени вышеописанные требования. Идея метода заключается в следующем. Уравнение (2.2) аппроксимируется разностным уравнением

(2.12)