Численное решение краевых задач для двумерного уравнения колебания (стр. 4 из 10)
при
Разностная схема сходится со скоростью O(hh) или имеет n-ый порядок точности, если при достаточно малом h
h0 выполняется неравенство 
где М>0, не зависит от h, n>0.
Говорят, что разностная схема имеет n-ый порядок аппроксимации,
Если
т.е.
Теорема Лакса. Пусть дифференциальная задача (1.12), (1.13) поставлена корректно, разностная схема (1.14), (1.15) является корректной и аппроксимирует исходную задачу (1.12), (1.13). Тогда решение разностной схемы (1.14), (1.15) сходится к решению исходной задачи (1.12), (1.13), причем порядок точности совпадает с порядком аппроксимации.
Доказательство. Если схема (1.14), (1.15) корректна, то нетрудно получить оценку погрешности решения через погрешность аппроксимации (1.28).
Задача (1.26), (1.27) аналогична задаче (1.14), (1.15), поэтому для неепользуясь априорной оценкой вида (1.16), получим оценку
(1.29)Таким образом, если схема (1.14), (1.15) корректна и аппроксимирует задачу (1.12), (1.13), то она сходится при h
0. Норма погрешности | 
приh
0, если 
и 
при h 0.Из оценки (1.28) видно, что порядок точности схемы (1.14), (1.15) определяется порядком аппроксимации, и чтобы схема сходилась со скоростью O(hn), n>0 достаточно, чтобы она имела аппроксимацию того же порядка, т.е.
Рассмотрим примеры.
Пример 1. Рассмотрим явную схему Эйлера
которая аппроксимирует дифференциальную задачу (1.20). Покажем порядок погрешности аппроксимации и сходимость.
Рассмотрим функцию погрешности решения
Для
получаем схему: 
(1.30)Разложим
по формуле Тейлора в точке 
, имеем 
(1.31)Подставляя (1.31) в
, получим 
т.е. имеем первый порядок аппроксимации. Из (1.30) имеем 
При
имеем 
Выражая через 
, получим: 
Отсюда видно, что при
. Для точности схемы имеем 
т.е. схема имеет первый порядок точности.Пример 2. Рассмотрим неявную схему Эйлера
которая аппроксимирует дифференциальную задачу (1.20). Для погрешности решения
получаем разностную схему: 
Подставляя разложение (1.31) в
, получим 
Отсюда имеем
т.е. первый порядок аппроксимации. Для сходимости рассмотрим решение задачи для
Множитель
при 
. Выражая через , имеем 
Отсюда
, т.е. схема имеет первый порядок точности. Таким же образом можно показать, что схема с весом 
имеет первый порядок аппроксимации и при выполнении условий устойчивости имеет место сходимость и притом порядок точности совпадает с порядком погрешности аппроксимации[4].
§2. Основные понятия и история вопроса
1. Одним из основных критериев оптимальности в теории численных методов является требование минимума арифметических операций.
Для одномерных задач математической физики особых затруднений в этом плане нет. Разностные схемы в этом случае реализуются экономичным алгоритмом прогонки, который на слое сетки допускает количество арифметических операций пропорциональное количеству узлов.
Особую остроту приобретает вопрос об экономичности вычислительных алгоритмов в численном решении многомерных задач математической физики. Многомерные краевые задачи моделировать многомерными разностными схемами и решать непосредственно эти схемы нецелесообразно, так как алгоритм становится сложным, неэкономичным и нереализуемым на ЭВМ.
Пусть в цилиндре
ищется решение уравнения 
(2.1)удовлетворяющее условиям
(2.2) 
(2.3)где
-мерный единичный куб, 
- боковая поверхность 
.Задачу (2.1)-(2.3) моделируем разностной схемой с весом:
(2.4) 
где
- вещественный параметр.Разностное уравнение запишем в операторном
где Е - единичный_ оператор.
Нахождение
при 
требует обращения многомерного оператора 
, что связано с весьма трудоемкой вычислительной работой, поскольку соответствующая этому оператору матрица порядка 
не имеет специального вида. Обращение такой матрицы производится по методу Гаусса, что требует 
арифметических операций или методом итераций, который также требует много машинного времени. По этой причине непосредственное решение схемы (2.4)-(2.6) даже при 
нецелесообразно, так, как возникают серьезные проблемы памяти ЭВМ и резко возрастает количество арифметических операций на слое сеткой. Схема может оказаться нереализуемой на современных ЭВМ.