Балансовые модели (стр. 7 из 7)

Действительно, функция

является решением уравнения (2) при , причем . В силу единственности и совпадают при всех . Применяя аналогичное рассуждение к решению , получим, что определено при и функции и совпадают при этих t. Таким образом, можно продолжить на все , при этом должно выполняться тождество

,

то есть

— периодическая функция с наименьшим периодом.

Траектория такого решения является замкнутой кривой. Из приведенного вытекает следующий результат: Каждая траектория автономного уравнения (2) принадлежит одному из следующих трех типов:

положение равновесия;

замкнутая траектория, которой соответствует периодическое решение с положительным наименьшим периодом;

траектория без самопересечения, которой соответствует непериодическое решение.

Рассмотрим автономную линейную однородную систему

(3) с постоянными коэффициентами. Будем полагать n = 2 и . В этом предположении система имеет единственное положение равновесия в начале координат. С помощью линейного неособого преобразования X = SY приведем систему (3) к виду ,

где J — жорданова форма матрицы A. В зависимости от вида собственных чисел имеют место следующие случаи:

1)

вещественны, различны и . В этом случае . Параметрические уравнения траекторий таковы: . Координатные полуоси являются траекториями, соответствующими или . При и

.

Картина расположения траекторий при

, имеющая специальное название — узел, изображена на рис. 1а.

2)

вещественны и . Полученные в случае узла формулы сохраняют силу. Соответствующая геометрическая картина, называемая седлом, изображена на рис. 1б.

3)

комплексно-сопряженные. Пусть . В преобразовании X = SY , где и — линейно независимые собственные векторы, соответствующие и . Так как А вещественна, и можно выбрать комплексно-сопряженными. Тогда и . Положим , , а в качестве фазовой плоскости возьмем . Переменная связана с Х соотношением X = SY = = STZ = QZ, где , . Следовательно, Q — вещественная неособая матрица. Преобразование приводит к виду

где матрица коэффициентов образует вещественную жорданову форму матрицы А.

Введем полярные координаты

, или , . Имеем: . Отделяя вещественные и мнимые части, получим:

.

Следовательно,

. При траектории образуют спирали (рис. 1в). Такое положение траекторий называется фокусом. При все траектории — окружности. В этом случае получаем центр. В случае центра все решения системы (3) периодические с периодом 2/.

4)

. Жорданова форма матрицы А имеет треугольный вид, а система преобразуется к виду

Решением этой системы будет функция

. В зависимости от формы матрицы J получаются два случая: или вырожденный узел (рис. 1г), либо звездный (дикритический) узел. Дикритический узел возможен лишь в случае системы

Рис. . Поведение траекторий в зависимости от значений собственных чисел