Ряды Фурье Интеграл Фурье Операционное исчисление (стр. 9 из 19)
Пример 1. Доказать, что
, (13.2)где
.Решение. Положим
Тогда
Таким образом,
,и по теореме о свертке
.Пример 2. Найти решение уравнения
(13.3)при
, удовлетворяющее начальному условию 
. (13.4)Замечание. Уравнение (13.3) называется уравнением теплопроводности. Уравнениями такого вида описываются одномерные процессы диффузии, переноса тепла и т.п.
Решение. Применим к уравнению (13.3) преобразование Фурье. Для этого, умножив обе части уравнения на
, проинтегрируем его по х от 
до 
. Тогда 
или
, (13.5)где
– Фурье-образ функции 
.Здесь использовалась формула для Фурье-образа производной второго порядка:
.Равенство (13.5) – это обыкновенное линейное дифференциальное уравнение первого порядка относительно функции
переменной t, где w – параметр.Переходя к Фурье-образам в равенстве (13.4), получим начальное условие для уравнения (13.5):
. (13.6)Решением задачи Коши (13.5), (13.6) является функция
.С помощью (12.3) находим
– прообраз функции 
:
. (13.7)Последний интеграл в (13.7) равен
. Поэтому 
.По теореме о свертке
,или
. (13.8)Решение уравнения теплопроводности, записанное в виде (13.8), называется интегралом Пуассона.
Пример 3. Найти решение волнового уравнения
, (13.9)удовлетворяющее начальным условиям
. (13.10)Замечание. Задача Коши (13.9),(13.10) является математической моделью одномерных волновых процессов в сплошных безграничных средах. Поле возмущений в среде, выведенной из равновесного состояния, описывается функцией
, физический смысл которой определяется спецификой рассматриваемой задачи. В задаче о малых поперечных колебаниях струны – это отклонение струны от ее равновесного положения, функции j(х) и 
задают соответственно форму струны и распределение скоростей ее точек в начальный момент времени. Константа 
, где 
и r – натяжение и плотность струны в положении равновесия. В задачах акустики 
– скорость возмущенного движения в точке 
в момент времени 
; 
– скорость звука в невозмущенной среде и т.д.Решение. Преобразуя по Фурье уравнение (13.9) и начальные условия (13.10), получим задачу Коши для обыкновенного дифференциального уравнения второго порядка:
где w – параметр.
Решение задачи имеет вид
Используя (13.1) и (13.2), получим формулу Эйлера – Даламбера
(13.11)Для выяснения физического смысла полученного решения преобразуем формулу (13.11). Положим
.Тогда
. (13.12)При
возмущение 
сохраняет постоянное значение 
, если переменные 
и 
связаны зависимостью: 
. Иными словами, возмущенное состояние 
переносится в положительном направлении оси абсцисс со скоростью 
. Поэтому говорят, что функция 
определяет бегущую волну, перемещающуюся вправо со скоростью а. Аналогично, функция 
задает волну, распространяющуюся влево с той же скоростью а. Таким образом, выяснен физический смысл постоянной величины а в уравнении (13.9): а – это скорость распространения возмущений в среде.Из формулы (13.12) следует, что возмущение в точке х в момент времени
есть результат сложения волн 
и 
, вышедших в момент времени 
из точек с координатами 
и 
соответственно.Итак, при весьма общих предположениях установлено следующее:
1. Произвольную функцию
можно представить в виде «суммы» гармоник; если 
задана на конечном интервале (или периодическая), то эта сумма представляет собой ряд Фурье; если задана на всей числовой оси (но непериодическая), то эта сумма – интеграл Фурье. С точки зрения приложений, это означает, что самые разнообразные физические зависимости, скажем, давления, тока, напряжения и т.д. от времени можно представить в виде линейной суперпозиции гармонических колебаний.2. В представлении формулы
в виде ряда или интеграла Фурье естественно возникает ее спектр, который однозначно определяется по функции 
и который, в свою очередь, однозначно определяет саму функцию .3. Результаты спектрального анализа, т.е. процесса нахождения спектра той или иной зависимости, используются при исследовании линейных систем, так как в этом случае достаточно изучить поведение системы при воздействии на нее гармонических колебаний, а затем просуммировать результаты этих воздействий с учетом спектра рассматриваемого (уже произвольного) воздействия.