Ряды Фурье Интеграл Фурье Операционное исчисление (стр. 8 из 19)
Решение. Найдем Фурье-образ функции
где 
:
.С помощью формулы обратного преобразования Фурье
получим
или
.Здесь первое слагаемое представляет собой удвоенный интеграл Лапласа, а второе равно нулю вследствие нечетности подынтегральной функции. Поэтому
.Пример 2. Вычислить разрывной множитель Дирихле
, если 
.Решение. Применив косинус-преобразование Фурье к четной функции
получим
; 
.Таким образом,
В частности интеграл Дирихле
.Пример 3. Вычислить интеграл Эйлера-Пуассона
.Решение. Сначала вычислим интеграл
, применив к функции 
, где 
, преобразование Фурье и введя замену 
=
; 
.Отсюда
, и, следовательно, с заменой 
можно записать 
.Упражнение 1. Используя равенство Парсеваля, вычислить интегралы
; 
.Упражнение 2. Доказать, что
,используя равенство Парсеваля.
§ 13. Основные сведения из теории преобразования Фурье
Тот факт, что функция
является Фурье-образом функции 
, будем обозначать в дальнейшем одним из следующих способов: 
.Свойства преобразования Фурье:
1. Теорема линейности.
, где 
. Это свойство сразу следует из определения (12.1) и линейности операции интегрирования.2. Теорема подобия.
, где 
. Обозначив 
, получим 
3. Теорема смещения.
, где 
. Введя замену 
, получим 
.Следствие.
, (13.1)где
. Действительно, 
.4. Теорема о свертке. Напомним, что сверткой абсолютно интегрируемых функций
и 
называется функция 
.Фурье-образ свертки функций f и g равен произведению их Фурье-образов, умноженному на
: 
.Так как по определению
,то, выполнив во внутреннем интеграле замену
, получим 
==
= 
,что и требовалось доказать.
5. Теорема об образе производной. Пусть функция
и ее производная 
абсолютно интегрируемы на промежутке 
. По формуле Ньютона – Лейбница 
.Так как производная
интегрируема на всей оси, интеграл в правой части последнего равенства имеет конечный предел при 
. Следовательно, существует конечный предел 
. При этом 
, ибо в противном случае функция 
была бы неинтегрируемой на промежутке 
. Точно также доказывается, что 
.Введем в рассмотрение Фурье-образ производной
.Выполнив интегрирование по частям, получим
.Так как внеинтегральный член равен нулю, то
.Таким образом, операции дифференцирования функции
соответствует операция умножения ее Фурье-образа на множитель 
. Аналогично, если функция 
имеет абсолютно интегрируемые производные до n-го порядка включительно, то 
, 
.Следствия. 1. Обыкновенное линейное дифференциальное уравнение с постоянными коэффициентами преобразованием Фурье переводится в линейное алгебраическое уравнение.
2. Линейное уравнение в частных производных с постоянными коэффициентами и с двумя независимыми переменными преобразованием Фурье по одной из переменных переводится в обыкновенное линейное дифференциальное уравнение.