Ряды Фурье Интеграл Фурье Операционное исчисление (стр. 16 из 19)
,где
; 
– чисто мнимые полюсы функции 
с положительными мнимыми частями; 
– мнимая единица. Здесь, как и ранее, предполагаем, что функция 
не имеет кратных полюсов.Представим эдс тригонометрическим рядом Фурье
. Тогда 
; 
; 
,следовательно,
.Положим
,где
– амплитуда гармоники с частотой 
, bk – ее начальная фаза; 
; g 
. Тогда 
. (19.1)Функции
и 
называются амплитудно-частотной (АЧХ) и фазочастотной характеристиками (ФЧХ) системы.Будем трактовать функции
и 
, как входной и выходной сигналы соответственно. Из формулы (19.1) следует, что, если на вход системы поступает сигнал с частотой w, амплитудой а и начальной фазой b, то по завершении переходных процессов на выходе формируется сигнал той же частоты w с амплитудой 
и с фазой, сдвинутой относительно фазы входного сигнала на величину 
. Таким образом, амплитудно-частотная и фазочастотная характеристики представляют собой соответственно коэффициент усиления (ослабления) и сдвиг фазы сигнала при его прохождении через систему. То значение w, при котором АЧХ достигает максимума, называется резонансной частотой системы.Пример. Колебательный контур состоит из последовательно соединенных активного сопротивления
, индуктивности 
и емкости C. Найти резонансную частоту.Решение. Импеданс контура
, его адмитанс 
. Амплитудно-частотная и фазочастотная характеристики соответственно 
; 
. (19.2)Из формулы (19.2) следует, что АЧХ достигает наибольшего значения, если
.Таким образом, колебательный контур резонирует на частоту
, наибольший коэффициент усиления сигнала равен 
, сдвиг фазы на резонансной частоте равен нулю.Расчет длинных электрических линий. Обозначим
– удельные сопротивление, индуктивность и емкость провода соответственно; 
– коэффициент утечки тока; 
и 
– ток и напряжение в точке с координатой х в момент времени 
. Тогда для участка линии между точками х и 
по известным законам физики будем иметь 
; 
. (19.3)Разделив уравнения (19.3) на Dх и перейдя к пределу при Dх ® 0, получим систему уравнений в частных производных (телеграфную систему) для определения функций
и 
: 
; 
. (19.4)Для завершения постановки задачи систему (19.4) необходимо дополнить начальными и краевыми условиями. В задаче включения начальные условия имеют вид
. (19.5)Далее примем, что правый конец провода заземлен, а на левом его конце поддерживается заданное напряжение
. Тогда краевые условия запишутся в виде 
, (19.6)где
– длина линии.Применяя к системе (19.4) преобразование Лапласа по переменной
с учетом начальных условий (19.5), получим операторную систему 
, (19.7)где
и 
– изображения напряжения и тока соответственно. Краевые условия (19.6) перейдут в 
, (19.8)где
.Применяя снова преобразование Лапласа, на этот раз по переменной х, вместо (19.7) запишем алгебраическую систему
; 
, (19.9)где
; 
; 
; 
– параметр преобразования Лапласа по переменной х.В дальнейшем, чтобы избежать громоздких выкладок, ограничимся исследованием установившегося режима в линии без искажений, т.е. линии, параметры которой удовлетворяют условию
.Решение системы (19.9) для линии без искажений имеет вид
,где
.Возвратимся к оригиналам:
; 
. (19.10)С помощью второго из краевых условий (19.8) найдем
. (19.11)Из (19.10) и (19.11) следует, что
; 
. (19.12)При отыскании функций
и 
будем использовать теорему разложения Хевисайда, для чего необходимо найти полюсы изображений (19.12). Нули гиперболического синуса определяются из уравнения 
, откуда 
и 
, 
Следовательно, нули функции 
– это числа 
, расположенные в левой полуплоскости 
. Поэтому, если – ограниченная функция, то, как следует из (19.12), напряжение и ток в установившемся режиме соответственно