Рівносильні та рівновеликі багатокутники (стр. 5 из 5)

Рішення

Проведемо відрізки

й ( рис. 3.16). – медіана трикутника , тому ( дивитися задачу 5); -медіана трикутника , тому . Міркуючи аналогічно , одержуємо , що

отже ,

Рис.3.15 Рис.3.16

Задача 8.

Дано опуклий чотирикутник

площі . Продовжимо його сторони , як у попередній задачі : нехай точка - середина відрізка , - середина , - середина , - середина ( рис.3.17). Знайти площу чотирикутника

Рис.3.17

Рішення

Проведемо в чотирикутнику

діагональ і позначимо площу трикутника через , а площа трикутника через , так що ( рис.3.18).

Рис.3.18

Міркуючи так само , як у попередній задачі , одержуємо, що

і

У такий спосіб

Аналогічно , проводячи діагональ

, можна довести , що

Отже,

3.2 Розрахунок площі невипуклого багатокутника композицією результатів координатно –аналітичного методу

Розрахунок оснований на методі комбінації площ трапецій, побудованих в координатній сітці на сторонах багатокутника, площі яких розраховуються за координатами вершин багатокутника [3].

Нехай даний багатокутник, розташований у позитивному квадранті

й до того ж опуклий.Занумеруємо його вершини проти годинникової стрілки: , як показано на рис. 3.19, де число вершин . Опустимо із всіх вершин перпендикуляри на вісь ; їхні довжини рівні .

Рис.3.19 - Розрахунок площі багатокутника методом комбінації позитивних та негативних площ трапецій, побудованих на його сторонах [3]

Площа трапеції

дорівнює модулю добутку . Цей добуток позитивний при й негативний при (тут - одне із чисел причому наступний за номер треба замінити на (1). Виявляється, що сума всіх таких однотипних добутків саме дорівнює площі багатокутника .Наприклад, для п'ятикутника на рис. 3.19 - з п'яти добутків ,

(3.7)

При цьому - три, що відповідають верхнім сторонам, позитивні, а дві відповідні нижні сторони – негативні. Віднімаючи із суми позитивних площ трапецій суму негативних площ, знаходимо площу п'ятикутника.

Отриману суму можна трохи спростити , скоротивши добуток

(3.8)

Основна формуладля n - багатокутника

Отже, площа

опуклого - багатокутника з вершинами дорівнює при n =5

(3.9)

Вираження

так часто зустрічається в математику що для нього прийняте спеціальне позначення й назва визначник другого порядку ; за допомогою таких визначників можна записати компактніше:

(3.10)

Помітимо, що формула (3.10) припускає, що вершини занумеровані проти годинникової стрілки).

Щоб не піклуватися про той або інший напрямок нумерації вершин, замість квадратних дужок у формулі (3.10) можнопоставить знак модуля.

Отримана формула

(3.11)

годиться для будь-якого випадку(нагадаємо ще раз ,що

й треба замінити на й ).

На основі формули (3.11) побудована компьютерна програма „Площа багатокутника”, яка розраховує площу для всіх видів багатокутників (Рис.3.20, 3.21) [1].

Рис.3.20 - Розрахунок площі випуклого 6-кутника (екранний інтерфейс)

Рис.3.21 – Розрахунок площі невипуклого 10-кутника (екранний інтерфейс)

ВИСНОВКИ ТА ПРОПОЗИЦІЇ

В курсовій роботі досліджені методи розрахунку площ багатокутників ( i= 1, …,n),

засновані на застосуванні методів рівновеликості та рівноскладеності багатокутників:

1) На історичних методах „розрізання” та „рівнодоповнення” для відносно нескладних багатокутників, які виконувались за допомогою лінійки та циркуля;

2) На сучасних методах застосування принципу „рівноскладеності” рівновеликих прямокутників для розрахнку на ПЕОМ площі неопуклих форм прямокутників з довільною кількістю сторін, заданих координатами їх вершин.

Проведений аналіз показав, що як у древності, так і у сучасності, методи розрахунку площ багатокутників спираються на аксіоми, леми та теореми про:

- властивості паралельних прямих;

- властивості трикутників, прямокутників, паралелограмів та трапецій, які є основними „елементарними” складовими багатокутниками при аналізі та розрахунку площ багатокутників довільної форми та кількості сторін.

СПИСОК ЛІТЕРАТУРИ

1.Бельди А. “Площадь многоугольника, версия 2.6 Демо», Москва, 2009, sah-1m@yandex.ru

2.Болтянский В.Г. Равновеликие и равносоставленные фигуры. М., 1956, 64 с.

3. Вагутен Н. Формула площади многоугольника // Журнал «Квант», № 4, 1981. – МЦНМО (Интернет-версия)

4. Гейдман Б.П. Площади многоугольников – М.: МЦНМО,2001. - 24 с.

5.Екимова М.А., Кукин Г.П. Задачи на разрезание. – М.: МЦНМО, 2002. - 120 с.

6. Каган В.Ф. Очерки по геометрии. М., 1963, 572 с.

7. Планиметрия. Пособие для углубленного изучения математики / В. Ф. Бутузов, СБ. Кадомцев, Э. Г. Позняк, С. А. Шестаков, И. И. Юдина. — М.: ФИЗМАТЛИТ, 2005. - 488 с.