Рівносильні та рівновеликі багатокутники (стр. 2 из 5)
Доведення. Равноскладені багатокутники - мають рівні площі. Доведемо зворотне твердження.
Нехай SM = SN. По лемі 5 для M і N найдуться такі прямокутники ABCD і A1B1C1D1, що M і ABCD, а також N і A1B1C1D1 рівноскладені. З рівностей SABCD = SM = SN = SA1B1C1D1 і леми 4 витікає рівноскладеність ABCD і A1B1C1D1. Тепер рівноскладеність M і N витікає з леми 1. Теорема доведена.
Близьким до поняття рівноскладеності є рівнодоповнюємість багатокутників.
Наприклад, паралелограм ABCD і прямокутник EFGH на рис.1.6 - рівнодоповнюємі.
Рис.1.6 До рівнодоповнюємості багатокутників
Звідси витікає рівність площ цих чотирикутників.
Теорема 2.Багатокутники M і N рівнодоповнюємі тоді й тільки тоді, коли вони рівновеликі.
Доведення. Рівновеликість двох рівнодоповнених багатокутників очевидна. Нехай тепер SM = SN. Існують два рівних по площі квадрата K1 і K2, які містять M і N відповідно. На рис.1.7 наведений приклад рівновеликих та рівнодоповнюємих багатокутників – „грецького хреста” та відповідного квадрату, який отримуємо „ відрізанням” та доповненням відповідних трикутників 2,3,4,5 до основної фігури 1.
Рис.1.7 Рівнодоповнення „грецького хреста” в рівновеликий (рівноскладений) квадрат
1.2 Класичні приклади рівновеликості багатокутників, складеними методами „розрізання” та „доповнення” рівноскладеними елементами багатокутників
Класичним прикладом освоєння равновеликості та рівноскладеності багатокутників є древня китайська головоломка «Танграм” [5], яка виникла в Китаї 4 тис.років тому. Головоломка представляє собою квадрат 12*12 квадратів, які розрізаються на 7 окремих багатокутників - 5 трикутників, 1 квадрат та 1 паралелограм (рис.1.8).
Рис. 1.8 Побудова структурних багатокутників головоломки „танграм”
Рис. 1.9 Декілька складених фігурок - багатокутників з 7 елементів головоломки „танграм”
Рис. 1.10 Розшифрування техніки складання фігурок - багатокутників на рис.1.19 за допомогою елементів „танграма”
Рис. 1.11 Рівновеликі та рівноскладені багатокутники з 7 елементів - елементарних багатокутників головоломки „танграм”
За допомогою методів рівновеликості та рівноскладеності багатокутників вирішують-ся наступні задачі [5]:
1) Довести, що в п'ятикутної зірки (рис.1.12) замальована рівно половина площі
2) Довести, що в правильного восьми кутника (рис.1.13) замальована половина площі
Рис. 1.12 Рис.1.13
Відповіді:
На рис. 1.14 та рис.1.15 видно, що при розбитті зірки та вісьмокутника на окремі елементарні багатокутники - біла та замальована частини складаються з рівноскладених елементів, тобто площі рівні.
Рис. 1.14 Рис. 1.15
Класичне доведення теореми Піфагора як історичний приклад застосування методу рівновеликості для розрахунку площі трикутника на плоскості – „Площа квадрата, побудованого на гіпотенузі прямокутного трикутника, дорівнює сумі площ квадратів, побудованих на його катетах.” [6].
Це одна з найвідоміших геометричних теорем стародавності, називана теоремою Пифагора. Її й зараз знають практично всі, хто коли-або вивчав планіметрію.
Не підлягає, однак, сумніву, що цю теорему знали за багато років до Піфагора. Так, за 1500 років до Піфагора древні єгиптяни знали про те, що трикутник зі сторонами 3, 4 і 5 є прямокутним, і користувалися цією властивістю (тобто теоремою, зворотнью теоремі Пифагора) для побудови прямих кутів при плануванні земельних ділянок і споруджень будинків. Та й понині сільські будівельники й теслі, закладаючи фундамент хати, виготовляючи її деталі, вичерчують цей трикутник, щоб одержати прямий кут. Це ж саме застосовувалось тисячі років тому при будівництві чудових храмів у Єгипті, Вавилоні, Китаї, імовірно, і в Мексиці. У самому древньому математико-астрономічному творі, що дійшов до нас, китайському « Чжоу-Бі», написаному приблизно за 600 років до Піфагора, серед інших пропозицій, що ставляться до прямокутного трикутника, утримується й теорема Піфагора. Ще раніше ця теорема була відома індусам. Із глибокої стародавності математики знаходять всі нові й нові доведення теореми Піфагора, всі нові й нові задуми її доведень. Таких доведень - більш-менш строгих, більш-менш наочних - відомо більше півтори сотень, але прагнення до збільшення їхнього числа збереглося.
Доведення, засновані на використанні поняття рівновеликості багатокутників, - це доведення, у яких квадрат, побудований на гіпотенузі даного прямокутного трикутника «складається» з таких же фігур, що й квадрати, побудовані на катетах. Можна розглядати й такі доведення, у яких застосовується перестановка фігур, що складаються, і враховується ряд нових ідей.
На рис. 1.16 зображено два рівних квадрати. Довжина сторін кожного квадрата дорівнює a + b. Кожний із квадратів розбитий на частині, що складаються із квадратів і прямокутних трикутників. Ясно, що якщо від площі квадрата відняти учетверенну площу прямокутного трикутника з катетами a, b, те залишаться рівні площі, тобто c2 = a2 + b2. Втім, древні індуси, яким належить це міркування, звичайно не записували його, а супровод-жували креслення лише одним словом: «дивися!» Цілком можливо, що такий же доказ запропонував і Пифагор.
Рис.1.16 Доказ теореми Пифагора на підставі рівновеликості та рівноскладеності багатокутників
РОЗДІЛ ІІ. Розрахунок площ випуклих багатокутників методами рівновеликості при геометричних побудуваннях
2.1 Розрахунок площосновних багатокутників (прямокутник, паралелограм, трикутник, трапеція) методом побудови рівновеликих геометричних фігур
Матеріал заснований на наступних аксіомах і теоремах [4]:
1. Про паралельні прямі
2. Про пересічу пряму для паралельних прямих і утворених нею кутах
3. Означеннях прямокутника, трикутника, паралелограма й трапеції
4. Про площу прямокутника
1). Про паралельні прямі
Теорема. Мінімальна відстань між двома паралельними прямими на площині є величина постійна й визначається перпендикуляром, опущеним з будь-якої точки однієї прямої на іншу.
Доведення.
Рис. 2.1
Розглянемо дві прямі а й b, кожна з яких перпендикулярна до прямої с (рис.2.1). Якби прямі а й b перетиналися, то із точки їхнього перетинання були б побудовані два перпендикуляри до прямої с, що неможливо. Отже, прямі а й b не перетинаються, тобто паралельні. Отже, дві прямі, перпендикулярні до третьої прямої, паралельні.
Сформульоване твердження виражає ознака (перпендикулярність двох прямих до третьої прямої), по якому можна зробити висновок про паралельність двох прямих, або, коротко говорячи, ознака паралельності двох прямих.
2. Про січну паралельних прямих і утворених нею кутах
Нехай a і b - дві паралельні прямі й
c - третя пряма, що перетинає прямі a і b (рис.2. 2). Пряма c стосовно паралельних прямих a і b називається січною.Січна утворить із паралельними прямими дві пари внутрішніх одностронних і дві пари внутрішніх навхрест лежачих кутів.
Рис.2.2
Нехай відповідні кути
1 і 2 рівні: l = 2. Тому що 2 = 3 (як вертикальні кути), те l = 3, тобто рівні навхрест лежачі кути. Отже, а║ b.Нехай сума однобічних кутів
1 і 2 дорівнює 180°. Тому що сума суміжних кутів 3 і 2 також дорівнює 180°, то l = 3, тобто рівні навхрест лежачі кути. Отже, а ║ b3. Означеннях прямокутника, трикутника, паралелограма й трапеції
Приведемо означення прямокутника , трикутника , паралелограма й трапеції.
Означення. Параллелограм - це чотирикутник, у якого протилежні сторони рівні й паралельні, тобто лежать на паралельних прямих.