Длина дуги кривой в прямоугольных координатах (стр. 3 из 3)

Если указанные функции непрерывны вместе со своими производными на отрезке

, то можно доказать, что длина данной кривой вычисляется по формуле

.

7. Длина дуги в полярной системе координат

Если кривая задана в полярной системе координат, то она описывается функцией

, где . Пусть непрерывна вместе со своей производной на отрезке .

Перейдем от полярной к прямоугольной системе координат:

. Но так как , то получаем, что . Иначе говоря, и выражены через параметр , поэтому можно воспользоваться формулой для длины дуги при ее параметрическом задании (п. 6.):

Возведя в квадрат выражения в скобках и выполнив элементарные преобразования, получаем:

.

Обычно данную формулу записывают следующим образом:

.

8. Вычисление объемов тел по известным площадям поперечных сечений

Определенный интеграл в некоторых случаях может быть использован и для вычисления объемов тел. Это можно сделать, когда известны площади всех их поперечных сечений.

Пусть некоторое тело, объем которого необходимо определить, расположено вдоль оси

между точками и . Пусть это тело обладает тем свойством, что известна площадь его любого поперечного сечения плоскостью , то есть плоскостью, перпендикулярной оси . Так как в общем случае величина этого сечения будет меняться, то . В случае, если поверхность тела является гладкой, а тело сплошным, то будет непрерывной функцией.

Разобьем отрезок

точками на частичные отрезки и в каждой полученной точке проведем плоскость, перпендикулярную оси . Все тело при этом разобьется на слои, а его объем будет равен сумме объемов всех полученных слоев: .

Найдем приближенно величину объема

-ого слоя . Для этого рассмотрим отрезок , длина которого равна . Возьмем некоторую точку и проведем в ней секущую плоскость, перпендикулярную оси . Если достаточно мало, то слой, соответствующий объему , можно практически считать прямым цилиндром с поперечным сечением равным . Но в этом случае, как и у кругового цилиндра, . Отсюда следует, что

.

Полученное выражение является интегральной суммой. Так как функция

по условию непрерывна, то предел этой суммы при и существует и равен определенному интегралу:

.

Итак, объем тела с известными поперечными сечениями равен:

.

9. Объем тела вращения

Рассмотрим теперь тело, полученное в результате вращения криволинейной трапеции вокруг оси

. Пусть основанием этой трапеции является отрезок , расположенный на оси , и она ограничена непрерывной кривой . В этом случае в любом сечении полученного тела плоскостью, перпендикулярной оси , будет круг, радиус которого совпадает со значением функции в данной конкретной точке. Поэтому площадь сечения будет равна .

Подставив данное выражение в формулу для объема тела с известными площадями поперечных сечений, приведенную в предыдущем параграфе, получим:

.

Если трапеция вращается вокруг оси

, то должна быть задана функция на отрезке . В этом случае объем тела вращения равен:

.

Литература

1. Крищенко Александр, Канатников Анатолий Аналитическая геометрия: Учебное пособие для студентов высших учебных заведений. Изд-во «Академия», 2009. – 208c.

2. Макарычев Юрий Тригонометрия. Издательство: ПРОСВЕЩЕНИЕ, 2004. – 360 с.

3. Потапов Михаил Задачи по алгебре, тригонометрии и элементарными функциями. Издательство: ЭКЗАМЕН XXI, 2008. – 160 с.

4. Тоом А., Гельфанд И., Львовский С. Тригонометрия. МЦМНО, 2003. – 200 с.