II. ИСТОРИЯ МАТЕМАТИКИ ДО 19 в.
Ясное понимание самостоятельного положения математики как особой науки, имеющей собственный предмет и метод, стало возможным только после накопления достаточно большого фактического материала и возникло впервые в Древней Греции в 6—5 вв. до н. э. Развитие математики до этого времени естественно отнести к периоду зарождения математики, а к 6—5 вв. до н. э. приурочить начало периода элементарной математики. В течение этих двух первых периодов математические исследования имеют дело почти исключительно с весьма ограниченным запасом основных понятий, возникших еще на очень ранних ступенях исторического развития в связи с самыми простыми запросами хозяйственной жизни, сводившимися к счёту предметов, измерению количества продуктов, площадей земельных участков, определению размеров отдельных частей архитектурных сооружений, измерению времени, коммерческим расчётам и т. п. Первые шаги механики и физики [за исключением отдельных исследований греческого учёного Архимеда (3 в. до н. э.), требовавших уже начатков исчисления бесконечно малых] могли еще удовлетвориться этим же запасом основных математических понятий. Единственной наукой, которая задолго до широкого развития математического изучения явлений природы в 17—18 вв. систематически предъявляла математике свои особые и очень большие требования, была астрономия, целиком обусловившая, например, раннее развитие тригонометрии. Запас понятий, с которым имела дело М. до начала 17 в., составляет и до настоящего времени основу «элементарной математики», преподаваемой в начальной и средней школе.
В 17 в. новые запросы естествознания и техники заставляют математиков сосредоточить своё внимание на создании методов, позволяющих математически изучать движение, процессы изменения величин, преобразования геометрических фигур (при проектировании и т. п.). С употребления переменных величин в аналитической геометрии французского учёного Р. Декарта и создания дифференциального и интегрального исчисления начинается период математики переменных величин, который можно условно назвать также периодом «высшей математики». Естественно, впрочем, что ни в этот, ни в следующий период не прекращалось и дальнейшее развитие элементарной математики.
Дальнейшее расширение круга количественных отношений и пространственных форм, изучаемых математикой, привело в начале 19 в. к необходимости отнестись к процессу расширения предмета математических исследований сознательно, поставив перед собой задачу систематического изучения с достаточно общей точки зрения возможных типов количественных отношений и пространственных форм. Создание русским математиком Н. И. Лобачевским его «воображаемой геометрии», получившей впоследствии вполне реальные применения, было первым значительным шагом в этом направлении. Развитие подобного рода исследований внесло в строение математики столь важные новые черты, что математику в 19 и 20 вв. естественно отнести к особому периоду современной математики.
1. Зарождение математики.
Счёт предметов на самых ранних ступенях развития культуры привёл к созданию простейших понятий арифметики натуральных чисел. Только на основе разработанной системы устного счисления возникают письменные системы счисления и постепенно вырабатываются приёмы выполнения над натуральными числами четырёх арифметических действий (из которых только деление еще долго представляло большие трудности). Потребности измерения (количества зерна, длины дороги и т. п.) приводят к появлению названий и обозначений простейших дробных чисел и к разработке приёмов выполнения арифметических действий над дробями. Таким образом, накапливается материал, складывающийся постепенно в древнейшую математическую науку — арифметику. Измерение площадей и объёмов, потребности строительной техники, а несколько позднее — астрономии, вызывают развитие начатков геометрии. Эти процессы шли у многих народов в значительной мере независимо и параллельно. Особенное значение для дальнейшего развития науки имело накопление арифметических и геометрических знаний в Египте и Вавилонии. В Вавилонии на основе развитой техники арифметических вычислений появились также начатки алгебры, а в связи с запросами астрономии — начатки тригонометрии.
Египет. Сохранившиеся математические тексты Древнего Египта состоят по преимуществу из примеров на решение отдельных задач и, в лучшем случае, рецептов для их решения, которые иногда удаётся понять, лишь анализируя числовые примеры, данные в текстах. Следует говорить именно о рецептах для решения отдельных типов задач, т. к. математической теории в смысле доказательств общих теорем, видимо, вовсе не существовало. Об этом свидетельствует, напр., то, что точные решения употреблялись без всякого отличия от приближённых. Тем не менее, самый запас установленных математических фактов был, в соответствии с высокой строительной техникой, сложностью земельных отношений, потребностью в точном календаре и т. п., довольно велик. По папирусам 1-й половины 2-го тысячелетия до н. э. состояние египетской математики того времени может быть охарактеризовано в следующих чертах. Преодолев все трудности действий с целыми числами на основе системы счисления, понятной из примераегиптяне создали своеобразный и довольно сложный аппарат действий с дробями, требовавший специальных вспомогательных таблиц. Систематически решались задачи на нахождение неизвестных чисел, которые были бы теперь записаны в виде уравнений с одним неизвестным. Геометрия сводилась к правилам вычисления площадей и объемов. Правильно вычислялись площади треугольника и трапеции, объёмы параллелепипеда и пирамиды с квадратным основанием. Наивысшим известным нам достижением египтян в этом направлении явилось открытие способа вычисления объёма усечённой пирамиды с квадратным основанием, соответствующего формуле
Правила вычисления площади круга и объёмов цилиндра и конуса соответствуют иногда грубо приближённому значению р=3, иногда же значительно более точному р=(16/9)2=3,16...
Вавилония. Математических текстов, позволяющих судить о математике в Вавилонии, несравненно больше, чем египетских. Вавилонские клинописные математические тексты охватывают период от 2-го тысячелетия до н. э. (эпоха династии Хаммурапи и касситов) до возникновения и развития греческой математики. Однако уже первые из этих текстов относятся к периоду расцвета вавилонской математики; дальнейшие тексты, несмотря на наличие некоторых новых моментов, свидетельствуют в целом скорее о её застое. Вавилония времён династии Хаммурапи получила еще от шумерского периода развитую смешанную десятично-шестидесятиричную систему нумерации, заключавшую уже в себе позиционный принцип (одни и те же знаки обозначают одно и то же число единиц разных шестидесятиричных разрядов). Напр.:Аналогично обозначались и шестидесятиричные дроби. Это позволяло совершать действия с целыми числами и с шестидесятиричными дробями по единообразным правилам. Деление при помощи таблиц обратных чисел сводилось к умножению. В более поздних текстах вычисление обратных чисел доводится до восьмого шестидесятиричного знака. Кроме таблиц обратных чисел, имеются таблицы произведений, квадратов, квадратных и кубичных корней. Большое количество хозяйственных записей доказывает широкое употребление всех этих средств в сложной хозяйственной дворцовой и храмовой деятельности. Широкое развитие получили также расчёты процентов по долгам. Имеется также ряд текстов времён династии Хаммурапи, посвящённых решению задач, которые с современной точки зрения сводятся к уравнениям первой, второй и даже третьей степени. Существует предположение, что такие более отвлечённые научные интересы, не ограничивавшиеся непосредственно необходимой в практике рецептурой, а приводившие к созданию общих алгебраических методов решения задач, возникли в «школах писцов», где ученики готовились к счётно-хозяйственной деятельности. Тексты такого рода позднее исчезают. Зато дальше развивается техника вычислений с многозначными числами в связи с развитием в 1-м тысячелетии до н. э. более точных методов в астрономии. На почве астрономии возникают первые обширные таблицы эмпирически найденных зависимостей, в которых можно видеть прообраз идеи функции. Вавилонская клинописная математич. традиция продолжается в Ассирии, персидском государстве и даже в эллинистическую эпоху вплоть до 1 в. до н. э. Из достижений вавилонской математики в области геометрии, выходящих за пределы познаний египтян, следует отметить разработанное измерение углов и некоторые зачатки тригонометрии, связанные, очевидно, с развитием астрономии. Вавилонянам была уже известна теорема Пифагора.