Оцінювання розподілу малої вибірки (стр. 1 из 11)
Міністерство освіти і науки України
Дніпропетровський Національний Університет
Дипломна робота
Оцінювання розподілу малої вибірки
Виконавець:
студентка групи МС-03-1
Яковенко В.В.
Дніпропетровськ
2008
Реферат
Дипломна робота: 65 сторінок, 10 джерел, 33 рисунки, 14 таблиць.
Перелік ключових слів: мала вибірка, обсяг вибірки, розподіл, відхилення емпіричної функції від гіпотетичної, емпірична функція розподілу, незміщена оцінка, спроможна оцінка.
Об’єкт дослідження: функція та щільність розподілу малої вибірки.
Мета роботи: порівняння класичного методу оцінювання розподілу вибірки, в основі якого лежить побудова емпіричної функції розподілу, з сучасними методами оцінювання розподілу малої вибірки.
Зміст
Вступ
1. Класичний метод оцінювання розподілу вибірки
1.1 Незміщені та спроможні оцінки
1.2 Емпірична функція розподілу
1.3 Моделювання неперервних випадкових величин
1.4 Критерій Смірнова
2. Сучасні методи оцінювання розподілу малої вибірки
2.1 Метод прямокутних внесків
2.2 Метод зменшення невизначеності
2.3 Метод апріорно-емпіричних функцій
3. Порівняння класичного методу та сучасних методів оцінювання розподілу малої вибірки
Висновки
Список використаних джерел
Вступ
Для математичної статистики проблема малої вибірки й досі залишається цікавою й актуальною. В сучасній науковій літературі відомості з цього питання різносторонні. Переважає умовний та суб'єктивний підхід. Деякі автори вважають малими вибірками вибірки обсягом до 200 спостережень, інші автори називають малими вибірками вибірки обсягом до 50 спостережень. Експериментально встановлено, що для знаходження стійких оцінок необхідна вибірка обсягом 40-50 спостережень. Вважається, що обсяг вибірки – 30 спостережень є граничним між малими та великими вибірками, оскільки для вибірок з обсягом менше 30 не можна застосовувати асимптотичні методи. Для дуже малих вибірок (обсягом 3-5 спостережень) практична цінність будь-якого висновку, знайденого класичними методами, незначна й для прийняття рішення необхідно використовувати інші методи (спеціально розроблені для вибірок малого обсягу [3]).
Малою вибіркою будемо називати вибірку, яку не можна проаналізувати методами, які базуються на групуванні вибіркових значень. З останнього випливає, що вибірку можна вважати великою, якщо при її обробці ми маємо можливість перейти до групування спостережень.
Межу, яка відтинає великі й малі вибірки, не можна, звичайно, розуміти як точку в ряду дійсних цілих чисел. Достатні вибірки в силу випадковості вибору, утворюють деяку скінчену множину. З означення малої вибірки випливає необхідність індивідуального підходу до кожної окремої реалізації при обробці малої вибірки.
Важливою задачею математичної статистики є знаходження розподілу вибірки. Відомо багато класичних критеріїв для перевірки гіпотези про розподіл вибірки (наприклад, χ2-критерій, критерій Колмогорова). Але для малої вибірки необхідні інші методи та підходи.
В дипломній роботі ставиться задача порівняння класичного методу оцінювання розподілу вибірки, в основі якого лежить побудова емпіричної функції розподілу, та сучасних методів оцінювання розподілу малої вибірки.
1. Класичний метод оцінювання розподілу вибірки
1.1 Незміщені та спроможні оцінки
Постановка задачі оцінювання параметрів розподілів. Нехай
– реалізація вибірки 
з розподілом 
. Розподіл залежить від параметра 
, який набуває значень із множини 
. Значення параметра в розподілі невідоме і його треба оцінити (визначити) за реалізацією вибірки . У цьому полягає задача оцінювання параметрів розподілів.Для оцінювання невідомого значення параметра
єдине, що нам відомо, та єдине, за допомогою чого ми можемо оцінювати (визначати) , є реалізація вибірки 
. Крім реалізації 
вибірки ми не маємо нічого, що надавало б якусь інформацію про значення параметра . Тому оцінити (визначити) значення за реалізацією (точно чи хоча б наближено) означає, що реалізації вибірки треба поставити у відповідність значення . Точніше (формально) це означає, що для оцінювання на вибірковому просторі – множині реалізації вибірок – необхідно визначити (побудувати, задати) функцію 
зі значеннями в – множині можливих значень параметра - таку, що 
дорівнює або хоча б
наближено дорівнює .Значення
ми й будемо використовувати як . Слід зазначити, що для кожної реалізації значення , яке використовується як , буде своє; тому 
як функція 
є випадковою величиною.Означення. Борелеву функцію
, задану на вибірковому просторі 
, зі значеннями в - множині можливих значень параметра - будемо називати статистикою, а 
- борелеву функцію від вибірки зі значеннями в - оцінкою.Будувати статистики
такі, щоб 
(1.1.1)тобто щоб за
можна було точно визначити , явно не вдається вже хоча б тому, що є константою, а оцінка як функція вибірки (функція випадкової величини) є випадковою величиною. Тому (хочемо ми того чи ні) для визначення ми змушені задовольнятися значеннями , приймаючи (розглядаючи) їх за наближені значення . Зазначимо, що для одного й того самого параметра можна запропонувати багато оцінок.У зв’язку з постановкою задачі оцінювання параметрів розподілів як задачі одержання наближених значень
для треба вміти відповідати на запитання: наскільки великою є похибка 
при заміні на , інакше кажучи, як далеко можуть відхилятися значення оцінки , обчисленої за вибіркою , від оцінюваної величини ?