Оцінювання розподілу малої вибірки (стр. 5 из 11)

(2.1.3)

Рис. 2.1.1. Графік щільності рівномірного розподілу на [а;b]

Тому до проведення стохастичного експерименту оцінка щільності має вигляд

f*(x)= f₀ (x).(2.1.4)

Функцію f₀(x) називатимемо апріорною щільністю розподілу.

Проводиться стохастичний експеримент, результатом якого є реалізація

вибірки . Поява реалізацій дає можливість уточнити оцінку (2.1.4). Останнє здійснюється шляхом індивідуального підходу до кожної окремої реалізації вибірки , при якому їй приписується елементарна рівномірна щільність на відрізку :

(2.1.5)

Функцію

називають функцією внеску реалізації , при цьому d – ширина функції внеску, .

Функція внеску задається симетрично відносно точки

на інтервалі довжини d (див. рис. 2.1.2), отже, інформація про випадкову величину , одержана від реалізації "розмазується".

Рис. 2.1.2. Графік і-тої функції внеску

Тоді оцінка щільності

знаходиться підсумовуванням апріорної щільності та всіх внесків реалізацій вибірки з однією й тією ж вагою :

(2.1.6)

Рис. 2.1.3. Графік оцінки щільності

При побудові оцінки щільності МПВ за формулою (2.1.6) для внесків, що виходять за одну з меж інтервалу [а; b], рекомендується відкидати частини, що виходять за ці межі. Над частиною внеску, що знаходиться всередині інтервалу [а; b], як над основою, слід рівномірно надбудовувати прямокутник, площа якого дорівнює відкинутій.

Оцінка функції розподілу F*(x) для МПВ знайдена інтегруванням щільності f*(x)

(2.1.7)

2.2 Метод зменшення невизначеності (МЗН)

Метод зменшення невизначеності був запропонований Єременко В.І. та Свердликом А.Н. в 1963 році [5].

Цей метод дозволяє побудувати оцінку функції розподілу при апріорно відомому інтервалі [a,b], на якому вибірка

набуває значень. На відміну від МПВ, в якому інформація від реалізації "розмазується" рівномірно на відрізку , в МЗН пропонується "розподілити рівномірно стрибок імовірностей в точці та розповсюдити вплив вказаного перетворення на весь відрізок ".

Розглянемо рисунок 2.2.1, на якому за трьома реалізаціями

побудована оцінка F*(x). Для її знаходження необхідно на інтервалі [a,b] нанести на графік похилі лінії, число яких дорівнює (n+1)=4, під кутом

(2.2.1)

до вісі абсцис на однаковій відстані одна від одної, яка дорівнює величині

. Далі будується ламана лінія від точки (a;0) до точки (b;1) через середини відрізків, перпендикулярних вісі абсцис, що відновлені в точках та замкнених між похилими лініями. Дана ламана лінія і є шуканою оцінкою F*(x).

Рис. 2.2.1. Графік оцінки функції розподілу

В загальному вигляді вираз для оцінки F*(x) на відрізку

такий:

(2.2.2)

(2.2.3)

де

– число випадків збігу реалізацій .

МЗН є частинним випадком МПВ. Це легко перевірити. Для цього необхідно від оцінки функції розподілу F*(x) перейти до оцінки щільності f*(x). На рис. 2.2.2. зображена перша похідна від оцінки F*(x) за аргументом х, яка є нічим іншим, як оцінкою щільності f*(x). З рисунка 2.2.2, на якому цифри всередині прямокутників означають їх площі, видно, що f*(x) складається з:

1) апріорної рівномірної щільності

, яка займає 25% площі оцінки f*(x), та 2) трьох функцій внеску несиметричної форми, які займають по 25% площі оцінки f*(x).

Рис. 2.2.2. Графік оцінки щільності f*(x) розподілу

Аналітично функцію внеску реалізації

можна записати так:

(2.2.4)

де при

реалізація , а при реалізація .

Оцінка f*(x) знаходиться підсумовуванням всіх вказаних компонент

з вагами . Отже, вираз для МПВ визначає оцінку f*(x) для МЗН. Відміна лише в тому, що прямокутний внесок перетворений у внесок східчастої форми, що складається з двох прямокутників з рівною площею.

Така заміна дозволяє досить легко будувати оцінку функції розподілу.

2.3 Метод апріорно-емпіричних функцій (АЕФ)

Метод апріорно-емпіричних функцій був запропонований Демковим І.П. та Потепун В.Е. в 1970 році [6].

Метод апріорно-емпіричних функцій дозволяє відразу отримати оцінку функції розподілу

.

Оцінка, побудована методом апріорно-емпіричних функцій, визначається так:

,(2.3.1)

де

– апріорний розподіл, побудований за апріорними даними;

– емпіричний розподіл, побудований за вибіркою ;

– коефіцієнт достовірності інформації про апріорний розподіл.

З формули (2.3.1) випливає, що метод апріорно-емпіричних функцій також базується на використанні апріорної інформації, яка представляє собою інтервал [a,b], але при цьому їй приписується деяка вага

та передбачається, що

(2.3.2)

(2.3.3)