Оцінювання розподілу малої вибірки (стр. 4 из 11)

(1.3.1)

Випадок

й (або) не виключається.

Теорема 1.2.1. Випадкова величина

, яка задовольняє рівнянню

(1.3.2)

має щільність розподілу

.

Доведення. Оскільки функція

строго зростає в інтервалі від до , тоді рівняння (1.3.2) має єдиний корень при кожному . При цьому

(1.3.3)

Випадкова величина

рівномірно розподілена в інтервалі , тому

(1.3.4)

Отже,

(1.3.5)

Що і треба було довести.

1.4 Критерій Смірнова

Постановка задачі. Нехай

та – реалізації вибірок та з неперервних розподілів і відповідно. Відносно невідомих розподілів і висувається гіпотеза

.(1.4.1)

Необхідно перевірити гіпотезу

.

Відхилення

між емпіричними функціями розподілу та . Смірнов за відхилення між емпіричними функціями розподілу та запропонував розглядати величину

.(1.4.2)

Так введене відхилення задовольняє умовам, які забезпечують побудову критерію: 1) при справедливій гіпотезі

відхилення мінімально можливе в порівнянні зі значеннями , коли , оскільки – незміщена та спроможна оцінка для , – незміщена та спроможна оцінка для ;

2) при достатньо великих

розподіл

(1.4.3)

мінімально можливого відхилення мало відрізняється від розподілу Колмогорова. Отже, за цей розподіл можна розглядати розподіл Колмогорова. Останнє випливає з теореми.

Теорема Смірнова. Нехай

та незалежні вибірки з неперервних розподілів і ; та – емпіричні функції розподілів побудовані за вибірками та .

Якщо

, тоді при так, що відношення має границю, справедливо

,(1.4.4)

де

– функція розподілу Колмогорова.

Далі, обчислюємо відхилення (1.4.2) і порівнюємо його з мінімально можливим відхиленням

. При цьому, порівнюємо з не безпосередньо (оскільки – випадкова величина), а порівнюємо з числом , що відокремлює малі значення від великих.

Критерій Смірнова. Нехай

та – незалежні вибірки з неперервних розподілів і відповідно. – верхня – границя розподілу Колмогорова. Якщо

,(1.4.5)

то гіпотезу

відхиляють, і не відхиляють в супротивному разі.

Рівень значущості критерію –

.

Зауваження 1.

– верхня – границя розподілу Колмогорова визначається як розв’язок рівняння

.(1.4.6)

.

2. Сучасні методи оцінювання розподілу малої вибірки

2.1 Метод прямокутних внесків (МПВ)

Метод прямокутних внесків був запропонований Чавчанідзе В.В. та Кумсішвілі В.А. в 1959 році [4]. Цей метод спрямований на побудову оцінки щільності розподілу f*(x).

Основні припущення метода такі. Множина можливих значень випадкових величин

– відрізок [a,b]. Кожна випадкова величина використовується для побудови оцінки щільності окремо, при цьому кожна випадкова величина рівномірно "розмазується" в прямокутнику

.

За додаткову апріорну інформацію передбачається знання інтервалу [а;b], в якому випадкова величина

набуває значень. При цьому вважається, що щільність розподілу f(x) неперервна, не має дуже великих стрибків на заданому інтервалі й

f(x)≥0 при а≤x≤b;(2.1.1)

f(x)≡0 при x<a, x>b.(2.1.2)

Наявність подібної апріорної інформації, навіть за відсутності реалізацій

вибірки , дозволяє побудувати оцінку щільності f*(x). Жодній з можливих реалізацій всередині інтервалу [а;b] не можна віддати перевагу. Саме таку особливість має рівномірний розподіл на [а;b] (див. рис 2.1.1)