Оцінювання розподілу малої вибірки (стр. 2 из 11)

Кількісно міру похибки при заміні

на (міру розсіювання відносно ) будемо описувати величиною

(1.1.2)

Серед усіх оцінок з однією і тією самою дисперсією

мінімальну міру розсіювання відносно мають оцінки, для яких . Останнє випливає з нерівностей

(1.1.3)

Означення. Оцінку

будемо називати незміщеною оцінкою параметра , якщо

,(1.1.4)

або, що те саме,

.

Наочно незміщеність оцінки

параметра можна трактувати так: при багаторазовому використанні оцінки як значення , тобто при багаторазовій заміні на , середнє значення похибки дорівнює нулеві.

Часто можна розглядати не одну оцінку

, побудовану за вибіркою , а послідовність оцінок , . У цій ситуації природно говорити про асимптотичну поведінку послідовності оцінок

Означення. Послідовність оцінок

, , будемо називати спроможною послідовністю оцінок параметра , якщо для кожного

(1.1.5)

при

.

Означення. Послідовність оцінок

, , будемо називати асимптотично незміщеною послідовністю оцінок параметра , якщо

(1.1.6)

або, що те саме,

при .

1.2 Емпірична функція розподілу

Означення. Нехай

– вибірка з неперервного розподілу F. Функцію , визначену на рівністю

(1.2.1)

будемо називати емпіричною функцією розподілу.

як функція випадкового вектора є випадковою величиною; тому також є функцією , тобто .

Для кожного фіксованого х емпірична функція розподілу

є незміщеною та спроможною оцінкою значення функції розподілу .

Надалі буде зручно розглядати вибіркові значення

, розташовані в порядку зростання: , тобто – найменше серед значень ; – друге за величиною і т. д.; – найбільше з можливих значень .

Означення. Послідовність

_, будемо називати варіаційним рядом послідовності _, а, - порядковими статистиками.

У термінах порядкових статистик емпіричну функцію розподілу можна подати у вигляді

(1.2.2)

Безпосередньо з рівності (1.2.2) знайдемо, що при фіксованому

значення в кожній точці х відрізка , оскільки кількість таких , для яких , дорівнює нулеві; у кожній точці відрізка , тому що кількість тих , при яких , дорівнює 1 і т. д.; нарешті, для кожного х з відрізка .

Із вищенаведеного випливає, що для кожного фіксованого

функція невід’ємна; вона є сталою на кожному з відрізків , (а отже, неперервною зліва) і неспадною – зростає в точках , стрибками .

Графік емпіричної функції розподілу

(точніше – реалізації ) зображено на рис.1.2.1.

Рис.1.2.1. Графік реалізації емпіричної функції розподілу

Зауваження 1. Для вибірок

із неперервних розподілів імовірність збігу вибіркових значень дорівнює нулеві, але оскільки ми фіксуємо результати з заданою точністю (наприклад, до третього знака), деякі вибіркові значення можуть збігатися. При цьому стрибок емпіричної функції розподілу в точці дорівнює , де – кількість вибіркових значень, які збігаються з , враховуючи й .