Высшая математика 4 (стр. 3 из 4)

Дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными. Дифференциальное уравнение вида

(3)

где

- заданные функции называются дифференциальным уравнением с разделяющимися переменными.

Для решения уравнения такого вида необходимо сделать следующее:

1). Разделить переменные, т. е. Преобразовать уравнение к виду

(4)

2). Проинтегрировать обе части уравнения (4)

(5)

где

первообразная функции

произвольная постоянная.

3). Разрешить, если это возможно, уравнение (5) относительно y (и найти область определения решения):

4). Добавить к решению (5) все функции вида

(горизонтальные прямые), где число

один из корней уравнения

Описанный метод решения можно схематично представить в виде формулы:

ЗАДАЧА 6. Найти общее решение дифференциального уравнения

Построить графики двух частных решений этого уравнения.

Решение. 1). Преобразуем уравнение к виду

Равенство

(у² + х²) = С показывает, что С > 0. Положим С =

∙ R²,где R > 0 — другая произвольная постоянная. Тогда

у² + х² = R².

3). Разрешим, предыдущее уравнение относительно у и найдём область определения решения:

Рис. к задаче 6.

D(у) =

>0. Графики решений — дуги концентрических окружностей произвольного радиуса с центром в начале координат (см. рис.).

4). В данном случае, уравнение

не имеет решений. Поэтому решений вида

y = а нет.

Линейные дифференциальные уравнение второго порядка с постоянными коэффициентами. Уравнение вида

(7) у" + by' + су=0,

где b и с — некоторые числа, называется линейным однородным дифференциальным уравнением второго порядка с постоянными коэффициентами. Общее решение

этого уравнения в зависимости от знака дискриминанта

характеристического уравнения

. (8) k² + bk + c = 0

имеют следующий вид:

если D > 0, где k =α, к=β — два различных действительных корня (α≠β) характеристического уравнения (8);

Б)

, если D = О,

где α— единственный корень характеристического уравнения;

если D < О,

где

Общее решение

линейного неоднородного дифференциального уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами

(9)

является суммой некоторого его частного решения

и общего решения

. однородного уравнения (7), т. е.

Многочлен

называют характеристическим многочленом дифференциального уравнения (7).

В тех случаях, когда

представляет собой многочлен, функцию

,частное решение

удаётся найти подбором с помощью следующей таблицы.

корни характеристического многочлена	частное решение

Задача 7. Найти частное решение дифференциального уравнения

первая часть	частное решение