Высшая математика 4 (стр. 2 из 4)

►

.◄

3.

►

.◄

ЗАДАЧА 3. Исследовать функцию и построить график

Исследовать функцию

и построить её график.

►Исследуем данную функцию.

1. Областью определения функции является множество

.

2. Ордината точки графика

.

3. Точки пересечения графика данной функции с осями координат:

4. Легко находим, что

.

Находим наклонные асимптоты:

Таким образом, существует единственная наклонная асимптота

5. Исследуем функцию на возрастание, убывание, локальный экстремум:'

y= 2(х + 3)(x-4)-(x + 3)² _ 2x² – 2x - 24 – х² - 6х - 9 =
(х-4)² (x-4)²

=

.

Из у' = 0 следует х^г — 8х — 33 = 0, откуда

= 11, х₂₌— 3. В интервале (—∞; — 3) y'> 0, следовательно, функция возрастает в этом интервале; в (—3; 4) y'<0, т. е. функция убывает. Поэтому функция в точке х = —3 имеет локальный максимум: у( —3) = 0. В интервале (4; 11)

у' < 0, следовательно, функция убывает на этом интервале; в (11; +∞) у'>0, т. е. функции возрастает. В точке

= 11 имеем локальный минимум: y(ll) =28.

6. Исследуем график функции на выпуклость, вогнутость и определим точки перегиба. Для этого найдем

=

=

= .

Очевидно, что в интервале (—∞; 4) y"< 0, и в этом интервале кривая выпукла; в (4; +∞)

у" > 0, т. е. в этом интервале кривая вогнута. Так как при х = 4 функция не определена, то точка перегиба отсутствует.

7. График функции изображен на рис. 0.17

ЗАДАЧА 4. Вычислить неопределенные интегралы а) – в)

а)

1.

►

◄

2.

►

◄

3.

►

.◄

4.

►

.◄

б)

.

Решение. Решение данной задачи на формуле интегрирования по частям:

В этой формуле принимаем за

По формуле находим производственную второго сомножителя :

Подставляя найденные

в формулу интегрирования по частям получаем: