Сущность метода Монте-Карло и моделирование случайных величин (стр. 4 из 6)

Остается доказать, что нижняя граница дисперсии (2.5) реализуется при выборе плотности

. Так как

.

Следовательно,

,

и правая часть (2.3) обращается в правую часть (2.5)

Использовать плотность

для расчёта практически невозможно, так как для этого нужно знать значение интеграла . А его вычисление представляет собой задачу, равноценную задаче о вычислении интеграла (2.1). Поэтому ограничиваются следующей рекомендацией: желательно, чтобы плотность была пропорциональна .

Конечно, выбирать очень сложные

нельзя, так как процедуры разыгрывания станет очень трудоёмкой. Оценку (2.2) с плотностью , сходной , называют существенной выборкой.

Также если стоит задача вычислить интеграл (2.1), преобразуем его к виду

(2.6)

Если теперь обозначить

(2.7)

То интеграл принимает вид

(2.8)

и может быть вычислен при помощи метода статистических испытаний.

В частном случае, если

и конечны или их можно считать конечными приближенно, в качестве целесообразно выбрать равномерный закон распределения.

Как известно, плотность вероятности равномерного закона распределения в интервале

равна:

(2.9)

Подставим в интеграл (2.6) значение

из формулы (2.9) и получим:

(2.10)

и рассмотрим процедуру вычисления:

из множества равномерно распределённых случайных чисел выбирается

. Для каждого значения вычисляется , затем вычисляется среднее значение

(2.11)

функции

на интервале

Таким образом, величина интеграла (2.10) может быть представлена в виде следующей формулы

(2.12)

Рассмотренный частный случай находит широкое применение интегралов методом статистического моделирования в силу того, что границы области определения могут быть легко приведены к пределам интегрирования

1.3 Вычисление кратных интегралов

Обычно при вычислении кратных интегралов методом Монте-Карло используют один из двух способов.

Первый способ.

Пусть требуется вычислить

кратный интеграл

(3.1)

по области G, лежащей в

мерном единичном кубе

Выберем

равномерно распределённых на отрезке последовательностей случайных чисел

Тогда точки

можно рассматривать как случайные, равномерно распределённые в мерном единичном кубе.

Пусть из общего числа

случайных точек точек попали в область G, остальные оказались вне G. Тогда при достаточно большом имеет место приближенная формула:

(3.2)

где под

понимается мерный объём области интегрирования. Если вычисление объёма затруднительно, то можно принять , и для приближенного вычисления интеграла получим:

(3.3)

Указанный способ можно применить к вычислению кратных интегралов и для произвольной области

, если существует такая замена переменных, при которой новая область интегрирования будет заключена в мерном единичном кубе.

Второй способ.

Если функция

, то интеграл (3.1) можно рассматривать как объём тела в мерном пространстве, т.е.

(3.5)

где область интегрирования

определяется условиями

Если в области

, то введя новую переменную , получим

где область

лежит в единичном мерном кубе

Возьмём

равномерно распределенных на отрезке случайных последовательностей

Составим соответствующую последовательность случайных точек

Пусть из общего числа

случайных точек точек принадлежат объёму , тогда имеет место приближенная формула

(3.6)

2. Практическая часть

2.1 Пример 1

Вычислим приближенно интеграл

Точное значение его известно:

Используем для вычисления две различные случайные величины

, с постоянной плотностью (т.е. равномерна распределена в интервале ) и с линейной плотностью .Линейная плотность более соответствует рекомендации о пропорциональности и . Поэтому следует ожидать, что второй способ вычисления даст лучший результат.