Кольца и полукольца частных (стр. 6 из 6)

2. Докажем, что

является полукольцевым гомоморфизмом, т.е. сохраняются полукольцевые операции.

2.1

. Покажем, что дробь согласована с на плотном идеале .

Пусть

, .

для

.

Следовательно

.

2.2

.

Идеал

содержит , покажем, что и согласованы на плотном идеале .

Пусть

, . Тогда

для .

Значит

.

Таким образом

- полукольцевой гомоморфизм классического полукольца частных в полное полукольцо частных .

3. Докажем, что

- инъективный гомоморфизм.

Пусть для

. Предположим, что дроби и согласованы на некотором плотном идеале , т.е. для выполнено . Но , . Тогда . Домножим обе части равенства на получим:

т.к. - плотный идеал , что противоречит условию.

Значит,

является инъективным гомоморфизмом или мономорфизмом в .

Так как

, то , где - элемент подполукольца полного полукольца частных , т.е. и . Поскольку - инъективный гомоморфизм, то по теореме о гомоморфизме существует изоморфизм отсюда следует .

Мономорфизм

называется вложением классического полукольца частных в полное полукольцо частных полукольца .▲

Библиографический список

1. Вечтомов, Е. М. Введение в полукольца [Текст] / Е. М. Вечтомов. – Киров.: ВГПУ, 2000.

2. Ламбек, И. Кольца и модули [Текст] / И. Ламбек. – Москва.: Мир, 1971. – 288 с.

3. Чермных, В. В. Полукольца [Текст] / В. В. Чермных. – Киров.: ВГПУ, 1997. – 131 с.