Кольца и полукольца частных (стр. 4 из 6)

Рефлективность:

и согласованы на плотном идеале .

Симметричность: пусть

, т.е. и согласованы на .

Транзитивность: пусть

и , т.е. и согласованы на плотном идеале

и согласованы на плотном идеале . Значит и согласованы на идеале , являющемся плотным , и согласована с на , тогда согласована с на плотном идеале по Лемме 1

Таким образом,

- отношение эквивалентности.

2. отношение

сохраняет полукольцевые операции.

- Пусть

и , т.е. для и для .

Тогда

и определены и согласованы на плотном идеале отсюда по Лемме 1 .

- Пусть

и , т.е. для и для .

Тогда

и определены и согласованы на плотном идеале отсюда по Лемме 1 .▲

Теорема₂.Если

- коммутативное полукольцо то система так же является коммутативным полукольцом. . (Будем называть полным полукольцом частных полукольца )

Доказательство.

- разбивает множество дробей на непересекающихся классов эквивалентности.

По Лемме 2 все тождества выполняющиеся в

справедливы и в .

Чтобы убедится, что

коммутативное полукольцо остаётся проверить справедливость законов дистрибутивности и коммутативности.

1. Дистрибутивность.

Отображения:

и согласованы на идеале покажем, что образы отображений и совпадают на этом идеале:

пусть

, где .

Тогда

.

Областью определения

является . По определению идеала: то для , а идеал (свойство 3⁰) то: . Тогда по определению сложения отсюда следует . Покажем . По определению

Аналогично

.

Тогда:

Таким образом, где . По свойству 3⁰ - плотный идеал значит и согласованы на плотном идеале .

2. Коммутативность.

Отображения

и согласованы на плотном идеале докажем что их образы совпадают на этом идеале: .

Доказано ранее, что

пусть элементы тогда