Кольца и полукольца частных (стр. 2 из 6)

Так как

Класс

является нейтральным по +:

Из равенства

тогда .

Для

составляет отдельный класс, играющий в роль нуля.

умножение: для

и

1.

2.

Из равенства правых частей следует, что

3. покажем, что для

.

Пусть

Класс

является нейтральным по умножению (единицей полукольца), т.к. , поскольку из равенства тогда .

4. умножение дистрибутивно относительно сложения:

Следовательно, правосторонний дистрибутивный закон выполняется:

Аналогично доказывается левосторонний закон дистрибутивности.

Таким образом, доказано, что

является коммутативным полукольцом с 1.

Полукольцо

называется классическим полукольцом частных полукольца .▲

Глава 2

Для построения полного полукольца частных можно воспользоваться следующим методом. Рассмотрим дробь

как частичный эндоморфизм аддитивной полугруппы неотрицательных целых чисел. Его область определения – идеал , и он переводит в , где . Аналогично, дробь определена на идеале и переводит в . Эти две дроби эквивалентны, т.е. они согласованы на пересечении своих областей определений, равном идеалу , поскольку та и другая дробь переводят в . Отношения определяются как классы эквивалентных дробей. Варьируя этот метод, можно выбрать в каждом классе эквивалентности одну «несократимую» дробь. Рассмотренный выше класс содержит несократимую дробь .

Данный метод можно применить к произвольному коммутативному полукольцу для построения «полного полукольца частных», где в качестве областей определения допускаются лишь идеалы определённого типа – плотные идеалы.

Определение₂.Идеал

коммутативного полукольца называется плотным, если для и выполняется равенство тогда и только тогда, когда .

Свойства плотных идеалов полукольца

:

1⁰

- плотный идеал.

Доказательство:

Пусть для

выполнено . Положим , тогда . Таким образом - плотный идеал по определению. ▲

2⁰ Если

- плотный идеал и , то идеал плотный.

Доказательство:

Если

- плотный идеал, то для из равенства следует . Пусть для выполнено . Так как по условию возьмём . Тогда т.к. - плотный идеал получаем отсюда . Таким образом - плотный идеал по определению. ▲

3⁰ Если

и - плотные идеалы, то и - так же плотные идеалы.

Доказательство:

Положим для

выполняется . Пусть , где , . Элемент т.к. , тогда верно равенство отсюда , т.к. - плотный идеал имеем , , и - плотный, . Таким образом - плотный идеал.

Пусть

, тогда по определению идеала: . С другой стороны значит . Тогда по 2⁰ - плотный идеал. ▲