Исследование математических операций 2 (стр. 14 из 28)

S_pq = c_pq - ( u_p + v_q ).

Так, например, для цикла x₂₁,x₂₃,x₁₃,x₁₁,x₂₁ в рассмотренной выше задаче имеем

.

Для базисных клеток сумма потенциалов строки и столбца, в которых находится эта клетка, равна тарифу, соответствующему этой клетке; если же клетка для неизвестного x_pq свободная, то сумму потенциалов

(3.7)

называют косвенным тарифом этой клетки. Следовательно, алгебраическая сумма тарифов для свободной клетки x_pq равна разности ее настоящего (“истинного”) и косвенного тарифов:

(3.8)

Из (3.8) следует, что если косвенный тариф для данной свободной клетки больше её истинного тарифа, то алгебраическая сумма тарифов по циклу, соответствующему этой клетке, будет отрицательна; если же косвенный тариф меньше истинного, то алгебраическая сумма тарифов положительна, и, наконец, если косвенный тариф равен истинному, то алгебраическая сумма тарифов равна нулю.

Потенциалы можно найти из системы равенств (3.6), рассматривая их как систему (m + n - 1) уравнений с m+n неизвестными. Так как неизвестных здесь на единицу больше, чем уравнений, то, по крайней мере, один из потенциалов мы можем выбрать произвольно, положив, например, u₁ = 0; тогда остальные потенциалы легко определяются из уравнений (3.6).

Например, для плана, полученного по диагональному методу в рассмотренной выше задаче, имеем

Система содержит семь уравнений с восемью неизвестными. Выбирая произвольно значение

, находим последовательно из первых трех уравнений значения

, затем из четвертого уравнения –

, из пятого уравнения –

, из шестого уравнения

и, наконец, из седьмого уравнения – .

Положив, например, u₁ = 0 , получаем значения потенциалов:

Найдем теперь косвенные тарифы для свободных клеток и сравним их с истинными тарифами:

Для клеток с неизвестными x₂₁ и x₃₂ косвенные тарифы больше истинных. Следовательно, для них мы будем иметь отрицательные алгебраические суммы тарифов:

Значение S₂₁ = -15 мы уже имели раньше, вычисляя алгебраическую сумму тарифов для этой клетки непосредственно по циклу.

Замечание 1. Подсчитывая косвенные тарифы как суммы соответствующих потенциалов, полезно не пропускать и клетки с базисными неизвестными (заполненные клетки). Для этих клеток сумма потенциалов равна истинному тарифу; последнее может служить проверкой правильности найденных значении потенциалов.

Замечание 2. Можно показать, что если сумму всех затрат по данному плану перевозок выразить черех свободные неизвестные, то коэффициент при каждом из таких неизвестных будет равен алгебраической сумме тарифов по циклу, соответствующему ей в таблице перевозок. Это еще раз подтверждает, что пересчет по циклам является специфической формой применения симплекс-метода к решению транспортной задачи.

Назад | Содержание | Далее

3.4. Критерий оптимальности базисного решения транспортной задачи. Методы отыскания оптимального решения

Из сказанного в предыдущем пункте вытекает следующий критерий оптимальности базисного решения транспортной задачи: если для некоторого базисного плана перевозок алгебраические суммы тарифов по циклам для всех свободных клеток неотрицательны, то этот план оптимальный.

Отсюда вытекает способ отыскания оптимального решения транспортной задачи, состоящий в том, что, имея некоторое базисное решение, вычисляют алгебраические суммы тарифов для всех свободных клеток. Если критерий оптимальности выполнен, то данное решение является оптимальным; если же имеются клетки с отрицательными алгебраическими суммами тарифов, то переходят к новому базису, производя пересчет по циклу, соответствующему одной из таких клеток. Полученное таким образом новое базисное решение будет лучше исходного – затраты на его реализацию будут меньшими. Для нового решения также проверяют выполнимость критерия оптимальности и в случае необходимости снова совершают пересчет по циклу для одной из клеток с отрицательной алгебраической суммой тарифов и т. д.

Через конечное число шагов приходят к искомому оптимальному базисному решению.

В случае если алгебраические суммы тарифов для всех свободных клеток положительны, мы имеем единственное оптимальное решение; если же алгебраические суммы тарифов для всех свободных клеток неотрицательны, но среди них имеются алгебраические суммы тарифов, равные нулю, то оптимальное решение не единственное: при пересчете по циклу для клетки с нулевой алгебраической суммой тарифов мы получим оптимальное же решение, но отличное от исходного (затраты по обоим планам будут одинаковыми).

В зависимости от методов подсчета алгебраических сумм тарифов для свободных клеток различают два метода отыскания оптимального решения транспортной задачи:

1. Распределительный метод. При этом методе для каждой пустой клетки строят цикл и для каждого цикла непосредственно вычисляют алгебраическую сумму тарифов.

2. Метод потенциалов. При этом методе предварительно находят потенциалы баз и потребителей, а затем вычисляют для каждой пустой клетки алгебраическую сумму тарифов с помощью потенциалов.

Преимущества метода потенциалов по сравнению с распределительным методом состоят в том, что отпадает необходимость построения циклов для каждой из пустых клеток и упрощается вычисление алгебраических сумм тарифов. Цикл строится только один – тот, по которому производится пересчет.

Применяя метод потенциалов, можно говорить не о знаке алгебраических сумм тарифов, а о сравнении косвенных тарифов с истинными. Требование неотрицательности алгебраических сумм тарифов заменяется условием, что косвенные тарифы не превосходят истинных.

Следует иметь в виду, что потенциалы (так же как и циклы) для каждого нового базисного плана определяются заново.

Назад | Содержание | Далее

3.5. Усложненные задачи транспортного типа

Выше рассмотрена классическая транспортная задача, на которой показано, как используется метод потенциалов для нахождения оптимального плана. В экономике предприятия такие задачи встречаются крайне редко. Обычно при составлении экономико-математической модели задачи транспортного типа приходится вводить целый ряд дополнительных ограничений, а затем пользоваться методом потенциалов.

Ряд экономических задач легко сводимы к транспортной задаче. Рассмотрим наиболее часто встречающиеся ситуации в экономике предприятия.

1. Отдельные поставки от определенных поставщиков некоторым потребителям должны быть исключены (из-за отсутствия необходимых условий хранения, чрезмерной перегрузки коммуникаций и т.д.). Это ограничение требует, чтобы в матрице перевозок, содержащей оптимальный план, определенные клетки оставались свободными. Последнее достигается искусственным завышением затрат на перевозки c_ij в клетках, перевозки через которые следует запретить. При этом производят завышение величины c_ij до таких значений, которые заведомо больше всех и с которыми их придется сравнивать в процессе решения задачи.

2. На предприятии необходимо определить минимальные суммарные затраты на производство и транспортировку продукции. С подобной задачей сталкиваются при решении вопросов, связанных с оптимальным размещением производственных объектов. Здесь может оказаться экономически более выгодным доставлять сырье из более отдаленных пунктов, но зато при меньшей его себестоимости. В таких задачах за критерий оптимальности принимают сумму затрат на производство и транспортировку продукции.

3. Ряд транспортных маршрутов, по которым необходимо доставить грузы, имеют ограничения по пропускной способности. Если, например, по маршруту A_iB_j можно провести не более q единиц груза, то B_j -й столбец матрицы разбивается на два столбца -

и

. В первом столбце спрос принимается равным разности между действительным спросом

и ограничением q:

, во втором – равным ограничению q, т.е.

. Затраты c_ij в обоих столбцах одинаковы и равны данным, но в первом столбце

, в клетке, соответствующей ограничению i, вместо истинного тарифа c_ij ставится искусственно завышенный тариф M (клетка блокируется). Затем задача решается обычным способом.