Математика

Элементы аналитической геометрии (стр. 1 из 3)

ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ АВТОНОМНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ

ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ

«ЮЖНЫЙ ФЕДЕРАЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ»

ИНСТИТУТ ЭКОНОМИКИ И ВНЕШНЕЭКОНОМИЧЕСКИХ СВЯЗЕЙ

Контрольная работа

по дисциплине: «Линейная алгебра»

Выполнил:

Воропаева Екатерина Андреевна

^(Ф.И.О.)

2010-З-ФК-1

^{(номер группы)}

Вариант № 3

Проверил

преподаватель:

Кирютенко Юрий Александрович

Ростов – на - Дону

2010

Оглавление

1. Комплексные числа. 3

2. Элементы аналитической геометрии. 3

3. Вычисление определителей. 3

4. Метод Гаусса. 3

5. Метод Крамера. 3

6. Матричные уравнения. 3

Решение контрольной работы

Вариант № 3

1. Комплексные числа.

1.3. а) Вычислите:

.

Решение:

Используя следующие правила:

выполним вычисления

1.3. б) Решите уравнение:

,

где

Решение:

Левую часть уравнения можно рассматривать, как некоторое неизвестное комплексное число. Приведя его к виду

, получаем уравнение равносильное данному:

. Так как два комплексные числа равны тогда и только тогда, когда равны их действительные и мнимые части, приходим к системе:

Ответ:

.

2. Элементы аналитической геометрии.

Треугольник

задан координатами вершин на плоскости. Найти уравнения сторон треугольника, медианы ВМ и высоты СН.

A(1,7); В(-3,-1); С(4,-2).

Решение:

Выполним чертеж:

Для нахождения уравнений сторон треугольника воспользуемся формулой уравнения прямой, проходящей через две точки А₁(x₁, y₁) и
А₂(x₂, y₂):

подставив поочередно в формулу (1) попарно координаты точек А и В, В и С, А и С.

Уравнение прямой, проходящей через точки А(1, 7) и В(-3, -1):

Уравнение прямой, проходящей через точки В(-3, -1) b C(4,-2):

Уравнение прямой, проходящей через точки А(1, 7) и C(4,-2):

Для определения уравнения медианы ВМ предварительно вычислим координаты точки М, воспользовавшись формулами нахождения координат середины отрезка А₁А₂ (А₁(x₁, y₁) и А₂(x₂, y₂)):

где х₁, у₁ – координаты точки А (1, 7);

х₂, у₂ – координаты точки С (4, -2).

Координаты точки М:

Точка М имеет координаты х = 2,5 и у = 2,5, т. е. М(2,5; 2,5).

Для нахождения уравнения медианы ВМ воспользуемся формулой (1), подставив в нее координаты точек В(-3, -1) и М(2,5; 2,5).

Уравнение медианы ВМ:

Для определения уравнения высоты СН воспользуемся формулой уравнения прямой, проходящей через данную точку М₁ (x₁, y₁) перпендикулярно к данной прямой y = ax + b:

подставив в нее координаты точки С(4,-2) и данные из уравнения прямой АВ

Получим:

Уравнение высоты СН:

3. Вычисление определителей.

Решение:

Используя алгебраические преобразования, получим в первом столбце в четвертой и пятой строке нули. Для этого от элементов четвертой строки отнимем элементы первой строки и полученный результат запишем на место элементов четвертой строки матрицы. От элементов пятой строки отнимем элементы первой строки и полученный результат запишем на место элементов пятой строки матрицы. Получим:

Разложим определитель матрицы по элементам первого столбца, имеем:

Такой прием называется сведением определителя более высокого порядка к определителю более низкого порядка.

Во второй строке последнего определителя все элементы строки, кроме элемента первого столбца, равны нулю. Поэтому удобно разложить определитель матрицы по элементам второй строки. В результате получим следующий результат.

В новом определителе третьего порядка во второй строке только один элемент не равен нулю, поэтому разложим этот определитель по элементам второй строки. Получим следующий результат:

читать дальше

1