Элементы аналитической геометрии (стр. 3 из 3)
.Поскольку A-1A = E и E∙X = X, то получаем решение матричного уравнения в виде X = A-1B.
Заметим, что поскольку обратную матрицу можно найти только для квадратных матриц, то матричным методом можно решать только те системы, в которых число уравнений совпадает с числом неизвестных. Однако, матричная запись системы возможна и в случае, когда число уравнений не равно числу неизвестных, тогда матрица A не будет квадратной и поэтому нельзя найти решение системы в виде X = A-1B.
В нашем случае матричная запись системы уравнений будет выглядеть следующим образом: X∙A=B, а решение матричного уравнения получаем в виде X = B∙ A-1.
Вычислим обратную матрицу А-1.
Определитель матрицы
Система совместна и имеет единственное решение.
Вычислим союзную матрицу, состоящую из алгебраических дополнений элементов матрицы А.
Союзная матрица
.Транспонируя союзную матрицу, находим к матрице А присоединенную матрицу.
Присоединенная матрица
.Вычислим обратную матрицу по формуле:
. Получим следующий результат: 
.Найдем X = B∙ A-1, выполнив умножение матриц B∙ A-1.
Матрица - математический объект, записываемый в виде прямоугольной таблицы чисел и допускающий алгебраические операции (сложение, вычитание, умножение) между ним и другими подобными объектами.
Умножение матриц — одна из основных операций над матрицами. Матрица, получаемая в результате операции умножения называется произведением матриц. Операция умножения двух матриц выполнима только в том случае, если число столбцов в первом сомножителе равно числу строк во втором, в этом случае говорят, что форма матриц согласована.
Вычислим элементы матрицы |Х|:
x1,1 = b1,1 ∙ a1,1 + b2,1 ∙ a1,2 + b3,1 ∙ a1,3
x1,2 = b1,2 ∙ a1,1 + b2,2 ∙ a1,2 + b3,2 ∙ a1,3
x1,3 = b1,3 ∙ a1,1 + b2,3 ∙ a1,2 + b3,3 ∙ a1,3
x2,1 = b1,1 ∙ a2,1 + b2,1 ∙ a2,2 + b3,1 ∙ a2,3
x2,2 = b1,2 ∙ a2,1 + b2,2 ∙ a2,2 + b3,2 ∙ a2,3
x2,3 = b1,3 ∙ a2,1 + b2,3 ∙ a2,2 + b3,3 ∙ a2,3
x3,1 = b1,1 ∙ a3,1 + b2,1 ∙ a3,2 + b3,1 ∙ a3,3
x3,2 = b1,2 ∙ a3,1 + b2,2 ∙ a3,2 + b3,2 ∙ a3,3
x3,3 = b1,3 ∙ a3,1 + b2,3 ∙ a3,2 + b3,3 ∙ a3,3
| x1,1 = | 1 | ∙ | 3 | + | 2 | ∙ | (-3) | + | 3 | ∙ | 1 | = | 3 | + | (-6) | + | 3 | = | 0 | |||||||||||||||||
| x1,2 = | 1 | ∙ | (-2.5) | + | 2 | ∙ | 4 | + | 3 | ∙ | (-1.5) | = | -2.5 | + | 8 | + | (-4.5) | = | 1 | |||||||||||||||||
| x1,3 = | 1 | ∙ | 0.5 | + | 2 | ∙ ( | -1) | + | 3 | ∙ | 0.5 | = | 0.5 | + | (-2) | + | 1.5 | = | 0 |
| x2,1 = | 2 | ∙ | 3 | + | 4 | ∙ | (-3) | + | 6 | ∙ | 1 | = | 6 | + | (-12) | + | 6 | = | 0 |
| x2,2 = | 2 | ∙ | (-2.5) | + | 4 | ∙ | 4 | + | 6 | ∙ | (-1.5) | = | -5 | + | 16 | + | (-9) | = | 2 |
| x2,3 = | 2 | ∙ | 0.5 | + | 4 | ∙ | (-1) | + | 6 | ∙ | 0.5 | = | 1 | + | (-4) | + | 3 | = | 0 |
| x3,1 = | 3 | ∙ | 3 | + | 6 | ∙ | (-3) | + | 9 | ∙ | 1 | = | 9 | + | (-18) | + | 9 | = | 0 |
| x3,2 = | 3 | ∙ | (-2.5) | + | 6 | ∙ | 4 | + | 9 | ∙ | (-1.5) | = | -7.5 | + | 24 | + | (-13.5) | = | 3 |
| x3,3 = | 3 | ∙ | 0.5 | + | 6 | ∙ | (-1) | + | 9 | ∙ | 0.5 | = | 1.5 | + | (-6) | + | 4.5 | = | 0 |
Результирующая матрица: .
Выполним проверку, подставив в формулу X∙A=B значения │Х│ и │А│. В результате выполненного умножения матриц должна получится матрица │В│.
Вычислим элементы матрицы |B|:
b1,1 = x1,1 ∙ a1,1 + x1,2 ∙ a2,1 + x1,3 ∙ a3,1
b1,2 = x1,1 ∙ a1,2 + x1,2 ∙ a2,2 + x1,3 ∙ a3,2
b1,3 = x1,1 ∙ a1,3 + x1,2 ∙ a2,3 + x1,3 ∙ a3,3
b2,1 = a2,1 ∙ b1,1 + a2,2 ∙ b2,1 + a2,3 ∙ b3,1
b2,2 = a2,1∙ b1,2 + a2,2 ∙ b2,2 + a2,3 ∙ b3,2
b2,3 = a2,1∙ b1,3 + a2,2 ∙ b2,3 + a2, 3 ∙ b3,3
b3,1 = a3,1 ∙ b1,1 + a3,2 ∙ b2,1 + a3,3 ∙ b3,1
b3,2 = a3,1 ∙ b1,2 + a3,2 ∙ b2,2 + a3,3 ∙ b3,2
b3,3 = a3,1 ∙ b1,3 + a3,2 ∙ b2,3 + a3,3 ∙ b3,3
| b1,1 = | 0 | ∙ | 1 | + | 1 | ∙ | 1 | + | 0 | ∙ | 1 | = | 0 | + | 1 | + | 0 | = | 1 |
| b1,2 = | 0 | ∙ | 1 | + | 1 | ∙ | 2 | + | 0 | ∙ | 4 | = | 0 | + | 2 | + | 0 | = | 2 |
| b1,3 = | 0 | ∙ | 1 | + | 1 | ∙ | 3 | + | 0 | ∙ | 9 | = | 0 | + | 3 | + | 0 | = | 3 |
| b2,1 = | 0 | ∙ | 1 | + | 2 | ∙ | 1 | + | 0 | ∙ | 1 | = | 0 | + | 2 | + | 0 | = | 2 |
| b2,2 = | 0 | ∙ | 1 | + | 2 | ∙ | 2 | + | 0 | ∙ | 4 | = | 0 | + | 4 | + | 0 | = | 4 |
| b2,3 = | 0 | ∙ | 1 | + | 2 | ∙ | 3 | + | 0 | ∙ | 9 | = | 0 | + | 6 | + | 0 | = | 6 |
| b3,1 = | 0 | ∙ | 1 | + | 3 | ∙ | 1 | + | 0 | ∙ | 1 | = | 0 | + | 3 | + | 0 | = | 3 |
| b3,2 = | 0 | ∙ | 1 | + | 3 | ∙ | 2 | + | 0 | ∙ | 4 | = | 0 | + | 6 | + | 0 | = | 6 |
| b3,3 = | 0 | ∙ | 1 | + | 3 | ∙ | 3 | + | 0 | ∙ | 9 | = | 0 | + | 9 | + | 0 | = | 9 |
Результирующая матрица: . Как показывают расчет, задача решена верно.