Министерство образования Республики Беларусь
Учреждение образования
«Гомельский государственный университет
имени Франциска Скорины»
Математический факультет
Кафедра алгебры и геометрии
Допущена к защите
Зав. кафедрой Шеметков Л.А.
« » 2007 г.
Об одной проблеме теории
Формации конечных групп
Курсовая работа
Исполнитель:
студент группы М-51 А.И. Рябченко
Научный руководитель:
к.ф.- м.н., старший преподаватель В.Г. Сафонов
Гомель 2007
Оглавление
Введение
Вспомогательные факты
Основные результаты
Заключение
ЛИТЕРАТУРА
Введение
Все рассматриваемые в работе группы предполагаются конечными. Кроме общепринятой терминологии [1–3], нам потребуются некоторые определения и обозначения работы [4].
Пусть

– некоторое непустое подмножество множества всех простых чисел;

– дополнение к

во множестве всех простых чисел. Формация

называется

-насыщенной, если ей принадлежит всякая группа

, удовлетворяющая условию

, где

. Всякая формация считается 0-кратно

-насыщенной. При

формация

называется

-кратно

-насыщенной [4], если

, где все непустые значения

-локального спутника

являются

-кратно

-насыщенными формациями.
Для любых двух

-кратно

-насыщенных формаций

и

полагают

, а

, где

– пересечение всех

-кратно

-насыщенных формаций, содержащих

. Через

обозначают решетку

-кратно

-насыщенных формаций, заключенных между

и

. Длину решетки

обозначают

и называют

-дефектом формации

.

-Кратно

-насыщенную формацию

называют

-приводимой, если она может быть представлена в виде решеточного объединения некоторых своих собственных

-кратно

-насыщенных подформаций в решетке

. В противном случае формацию

называют

-неприводимой.
Группа

называют критической, если

– группа минимального порядка из

для некоторых формаций

и

. Критическая группа

называется

-базисной, если у формации, ею порожденной, имеется лишь единственная максимальная подформация

, причем

.
В работе [4] А.Н. Скибой и Л.А. Шеметковым была поставлена задача описания

-кратно

-насыщенных формаций

-дефекта

(вопрос 5, [4]). Полученные нами теоремы 1–3 завершают описание

-кратно

-насыщенных формаций такого типа. В частности, теорема 1 и теорема 2 позволяют классифицировать

-приводимые

-кратно

-насыщенные формации, имеющие

-дефект

, а в теореме 3 получено описание конечных групп, порождающих

-неприводимые формации

-дефекта 2 (

). Отметим, что при

решение данной задачи получено в работе [5].
Вспомогательные факты
Следствием теоремы 3.4.3 работы [6] является
Лемма 1. Пусть
–
-кратно
-насыщенная ненильпотентная формация. Тогда в
имеется по крайней мере одна минимальная
-кратно
-насыщенная ненильпотентная подформация. Доказательство следующей леммы аналогично доказательству леммы 20.4 [2].
Лемма 2. Пусть
,
и
–
-кратно
-насыщенные формации, причем
. Тогда если
и
соответственно
-дефекты формаций
и
и
, то
.