Формации конечных групп (стр. 9 из 14)

Если

, то . Тогда . Так как , то , т.е. является элементарной абелевой -группой, и формация удовлетворяет условию 2.2) теоремы.

Пусть для формации

выполнено условие (2). Покажем, что . Предположим, что существует . Тогда . Значит, – минимальная -кратно -насыщенная не -формация. Последнее невозможно, так как . Поэтому . Но . Следовательно, .

Ввиду леммы 12,

. Так как , то – минимальная не -формация. Значит, . Но, как нетрудно показать, . Если , то по лемме 11 -дефект формации равен 1. Противоречие. Следовательно, и . Но тогда Так как при этом группа является монолитической группой с неабелевым цоколем , то применяя лемму 13 получим, что – подпрямое произведение групп изоморфных группе . Таким образом, группа удовлетворяет условию 2.3) теоремы.

Пусть теперь

– такая формация, что – монолитическая группа с цоколем , . Так как , то . Но тогда – минимальная -кратно -насыщенная не -формация. Значит, и по лемме 11 получаем, что -дефект формации равен 1. Противоречие. Таким образом, данный случай невозможен.

Пусть

– абелева -группа, . Тогда по лемме 14 имеем . Пусть формация удовлетворяет условию (1).

Предположим, что

. Тогда . Значит, – минимальная -кратно -насыщенная не -формация. Пусть – группа минимального порядка из . Тогда является монолитической группой с цоколем . Ясно, что и . Применяя лемму 15, получаем, что существует точный неприводимый -модуль . Обозначим через . Ввиду леммы 16 группа . Так как , то . Поскольку и формация разрешима, то – абелева -группа для некоторого простого числа . Но . Если , то группа нильпотентна. Поскольку , то – группа простого порядка . Но тогда по лемме 11 получаем, что -дефект формации равен 1. Противоречие. Поэтому . Так как при этом , то , что невозможно. Поэтому .

Но тогда

и – минимальная -кратно -насыщенная не -формация.

Рассмотрим группу

. Тогда является монолитической группой с цоколем . Поскольку и формация разрешима, то – абелева -группа для некоторого простого числа . Ясно, что . Применяя лемму 15, получаем, что существует точный неприводимый -модуль . Обозначим через . Ввиду леммы 16 группа . Так как , то . Но . Значит, . Но – монолитическая группа. Значит, – -группа. Если , то , что невозможно. Значит, . Если , то по лемме 11 -дефект формации равен 1. Противоречие. Следовательно, . Поскольку , то . Таким образом, и . Тогда – минимальная не -формация. Поскольку группа нильпотентна, то любая собственная подгруппа из принадлежит . Таким образом, – минимальная не -группа. Так как при этом – -группа, то либо циклическая примарная группа порядка , либо неабелева группа порядка простой нечетной экспоненты . Но тогда группа удовлетворяет условию 1.1) или 1.2) теоремы.