Формации конечных групп (стр. 6 из 14)

Поскольку

– собственная -кратно -насыщенная подформация формации , то число разрешимых подформаций формации меньше чем у . Ввиду замечания 3 [4] в однопорожденной формации имеется лишь конечное множество разрешимых -кратно -насыщенных подформаций. Поэтому, повторяя описанные выше действия, через конечное число шагов мы придем к ситуации, когда либо формация (где ) удовлетворяет условию 2) и необходимость доказана, либо , где – -приводимая формация -дефекта 2, – наименьшая неединичная разрешимая подформация формации , такая что .

Обозначим через

максимальную -кратно -насыщенную подформацию формации , имеющую нильпотентный -дефект, равный 1. Так как – -приводимая формация, то в существует такая группа , что . Ввиду максимальности формации в формации справедливо . По теореме 1 и предположению единственности получаем, что , где – некоторая нильпотентная -кратно -насыщенная подформация формации . Тогда

Но

по предположению индукции. Следовательно, формация не может быть -приводимой формацией. Значит, , где , – -неприводимая формация -дефекта 2. Необходимость доказана.

Достаточность. Пусть

, где , и – различные минимальные -кратно -насыщенные ненильпотентные формации. Пусть , , и -дефекты формаций , , и соответственно. Тогда по лемме 2 -дефект формации не превосходит . С другой стороны по лемме 5 -дефект формации больше либо равен . Таким образом, -дефект формации равен 2.

Аналогично рассматривается случай, когда

, где , – -неприводимая формация -дефекта 2. Теорема доказана.

Теорема 3. Пусть

–

-кратно

-насыщенная формация

. Тогда и только тогда формации

–

-неприводимая формация

-дефекта 2, когда

, где

– такая монолитическая группа с цоколем

, что выполняется одно из следующих условий:

1)

, где

–

-группа,

, а

– группа, удовлетворяющая одному из следующих условий:

1.1) циклическая примарная группа порядка

;

1.2) неабелева группа порядка

простой нечетной экспоненты

;