Формации конечных групп (стр. 5 из 14)

и выполнено условие 1).

Пусть теперь в формации

нет отличных от

минимальных -кратно -насыщенных ненильпотентных подформаций. Поскольку

– -приводимая формация, то в найдется такая группа , что . Понятно, что . Ввиду леммы 5 -дефект формации меньше или равен 2. Поскольку и -дефект формации равен 1, то -дефект формации не равен 0. Допустим, что -дефект формации равен 1. Тогда по теореме 1 и предположению о единственности получаем, что , где . Значит, где . Но тогда в силу леммы 2 -дефект формации

равен 1. Противоречие. Поэтому -дефект формации равен 2. Тогда , так как иначе , что противоречит максимальности формации в формации

. Таким образом,

Предположим, что

– -неприводимая формация. Заметим, что если и – -насыщенная формация, то является насыщенной формацией. Действительно, из -насыщенности формации получаем, что для любой группы из условия следует, что . Но . Значит, . Тогда получаем, что из условия следует, что . Таким образом, является насыщенной формацией. Ввиду леммы 6 всякая -кратно насыщенная формация, имеющая нильпотентный дефект 2, приводима. В этом случае – приводимая -кратно насыщенная формация. Противоречие. Поэтому . Тогда получаем, что формация

удовлетворяет условию 2).

Пусть теперь

– -приводимая формация. Воспользуемся индукцией по числу разрешимых -кратно -насыщенных подформаций однопорожденной формации .

Обозначим через

максимальную -кратно -насыщенную подформацию формации , имеющую -дефект, равный 1. Так как – -приводимая формация, то в существует такая группа , что . Ввиду максимальности формации в формации справедливо . По теореме 1 и предположению единственности получаем, что , где – некоторая нильпотентная -кратно -насыщенная подформация формации .

Тогда

. Заметим, что повторяя приведенные выше рассуждения для , получаем, что либо формация (где ) удовлетворяет условию 2), и необходимость доказана, либо формация является -приводимой формацией -дефекта 2. Понятно, что , так как иначе , что противоречит максимальности формации в .