Формации конечных групп (стр. 4 из 14)

Достаточность. Пусть

, где – -кратно -насыщенная нильпотентная подформация формации

, – минимальная -кратно -насыщенная ненильпотентная подформация

. Понятно, что . Пусть -дефекты -кратно -насыщенных формаций

, и равны соответственно , и . Поскольку – -кратно -насыщенная нильпотентная подформация формации

, то . Так как – минимальная -кратно -насыщенная ненильпотентная формация, то ее -дефект равен 1. В силу леммы 2 имеет место неравенство . Если , то

– нильпотентная формация, что противоречит условию . Таким образом, -дефект формации

равен 1.

Докажем теперь справедливость утверждения 1) второй части теоремы. Так как

– максимальная -кратно -насыщенная подформация в , то, в силу леммы 3, имеет место решеточный изоморфизм

Следовательно,

– максимальная -кратно -насыщенная подформация в

. Тогда, поскольку , то всякая -кратно -насыщенная нильпотентная подформация из

входит в .

Докажем утверждение 2). Используя лемму 4, получаем, что в формации

нет минимальных

-кратно -насыщенных ненильпотентных подформаций, отличных от .

Пусть теперь

– произвольная -кратно -насыщенная ненильпотентная подформация из

. Тогда в силу уже доказанного и леммы 4 получаем, что . Следовательно, применяя лемму 3, получаем . Теорема доказана.

Теорема 2. Пусть

–

-приводимая формация, . Тогда и только тогда

-дефект формации

равен 2, когда

удовлетворяет одному из следующих условий: 1)

, где

,

и

– различные минимальные

-кратно

-насыщенные ненильпотентные формации; 2)

, где

,

–

-неприводимая формация

-дефекта 2,

, причем если

, то

.

Доказательство. Заметим, что при

, справедливость утверждения теоремы вытекает из теоремы 1.1 [5], а также теоремы 1 работы [11]. Поэтому мы можем считать, что .

Необходимость. Пусть

-дефект формации

равен 2, – такая максимальная -кратно -насыщенная подформация формации

, что -дефект формации равен 1. По теореме 1 получаем , где – минимальная -кратно -насыщенная ненильпотентная формация, а . Если в формации

имеется еще одна минимальная -кратно -насыщенная ненильпотентная подформация , отличная от , то, в силу леммы 4, . Значит,