Формации конечных групп (стр. 10 из 14)

Пусть для формации

выполнено условие (2). Допустим, что . Тогда . Значит, – минимальная -кратно -насыщенная не -формация. Поскольку , то . Так как при этом , то . Если , то , что невозможно. Значит, . Но . Следовательно, . Противоречие. Таким образом, .

Тогда

и – минимальная -кратно -насыщенная не -формация. Выберем в группу минимального порядка. Тогда – монолитическая группа с цоколем и . Применяя лемму 15, получаем, что существует точный неприводимый -модуль . Обозначим через . Ввиду леммы 16 группа . Так как , то . Предположим, что – неабелев цоколь группы . Ввиду того, что и

то . Следовательно, по лемме 13 имеем . Поскольку и , то группа изоморфна группе . Но тогда . Однако . Поэтому и -дефект формации равен 1. Противоречие. Следовательно, – абелева -группа, для некоторого простого числа . Допустим, что . Пусть – группа порядка . Тогда . Пусть – точный неприводимый -модуль и . Применяя лемму 16, получим . Ввиду леммы 11 формация имеет -дефект 1. Поскольку и , то мы получаем противоречие с леммой 5. Значит, . Поскольку и