Семейства решений с постоянной четной частью (стр. 3 из 3)
Найдем решение:
.Сделаем проверку:
Таким образом: 
Четная часть общего решения 
Из данных примеров можем заметить, что решения систем записывается в виде:
где
и 
– нечетные функции, а четная часть представлена константой. 
(4.1)Системы вида (4.1) будут иметь семейства решений с постоянной четной частью.
5. Семейства решений с постоянной четной частью
Рассмотрим систему
(5.1)Надо выяснить, когда и при каких условиях семейства решений этой системы будут иметь постоянную четную часть
. Иначе говоря, когда 
не будет зависеть от 
.Рассмотрим уравнение
. Его решение 
.Возьмем отражающую функцию
системы (5.1), тогда, используя (1.2) можем записать четную часть следующим образом: 
(5.2)Если четная часть будет представлена константой, то
. (5.3)Продифференцируем (5.2) и прировняем к (5.3). Получаем:
. Учитывая (5.1), имеем:
.Воспользуемся соотношением (1.4)
(5.4)Таким образом, приходим к теореме:
Теорема: Если система вида
(5.1) имеет семейства решений с постоянной четной частью, то выполнено тождество 
(5.4)
Заключение
Мы исследовали понятие «отражающей функции».
Для периодических решений дифференциальных систем и уравнений были использованы свойства симметричности (четность, нечетность и т.д.) как функций, задающих изучаемую систему, так и самих решений.
Были изучены семейства решений с постоянной четной частью.
На примерах мы убедились, что для различных систем, семейства решений которых имеет постоянную четную часть, была получена одинаковая четная часть общего решения.
Таким образом, в работе мы исследовали семейства решений линейной системы. Выяснили связь семейства решений этой системы с её отражающей функцией и её свойствами. Установили условия, при которых линейная система имеет общее решение, четная часть которого не зависит от времени.
Литература
1. Арнольд В.И. «Обыкновенные дифференциальные уравнения», М.: Наука, 1971–240 с.
2. Бибиков Ю.Н. «Общий курс дифференциальных уравнений», изд. Ленинградского университета, 1981–232 с.
3. Еругин Н.П. «Книга для чтения по общему курсу дифференциальных уравнений. 3-е издание», М. изд. Наука и Техника, 1979–744 с.
4. Мироненко В.И. «Отражающая функция и периодические решения дифференциальных уравнений», г. Минск: изд. «Университетское», 1986–76 с.
5. Понтрягин Л.С. «Обыкновенные дифференциальные уравнения», М.: Наука, 1970–331 с.