Семейства решений с постоянной четной частью (стр. 2 из 3)
Если система простейшая,
; 
. Замечание. Доказанная теорема позволяет нам определять, является данная нам система (2.2.) простейшей или нет. Для этого следует по системе (2.2.) записать соотношение (2.3.), из него определить функцию
, обладающую свойством 
и для неё проверить все соотношения. Если соотношения выполнены, то система простейшая.3. Система чет-нечет
Рассмотрим систему
(3.1)Будем считать, что всюду в дальнейшем эта система удовлетворяет условиям:
а.) Функция
непрерывно дифференцируема, и поэтому, задача Коши для системы (3.1) имеет единственное решение;б.) Правая часть системы (3.1)
– периодична по 
.Лемма. Пусть система (3.1) удовлетворяет условиям а). и б). Тогда продолжимое на отрезок
решение 
этой системы будет 
– периодическим тогда и только тогда, когда 
,где
– есть нечетная часть решения 
.Пусть
– – периодическое решение системы (3.1). Тогда 
. Необходимость доказана.Пусть
– решение системы (3.1), для которого 
. Тогда 
, и поэтому 
. Таким образом, точка 
есть неподвижная точка отображения за период, а решение 
– 
– периодическое.Доказанная лемма вопрос о периодичности решения
, сводит к вычислению одного из значений нечетной части 
. Иногда относительно 
можно сказать больше, чем о самом решении . Это позволяет в таких случаях делать различные заключения относительно существования периодических решений у систем вида (3.1). Дифференцируемые функции 
; 
, удовлетворяют некоторой системе дифференциальных уравнений. Прежде, чем выписать эту систему, заметим: 
(3.2)Так как
решение системы (3.1). Заменяя в тождестве (3.2) 
на 
и учитывая, что производная четной функции – функция нечетная, а производная нечетной функции – функция четная, получаем тождество 
(3.3)Из тождеств (3.2) и (3.3) найдем производные:
; 
.Таким образом, вектор-функция
(3.4)Удовлетворяет следующей системе дифференциальных уравнений порядка
: 
; 
При этом
. Систему (3.5) будем называть системой чет-нечет, соответствующей системе (3.1) решение системы чет-нечет, как следует из условия а), однозначно определяется своими начальными условиями.4. Примеры систем, семейства решений которых имеют постоянную четную часть
1 
.
Найдем решение:
; 
; 
Таким образом:
Сделаем проверку:
; 
Четная часть общего решения:
2 
.
Найдем решение:
Таким образом:
Сделаем проверку:
; 
; 
, четная часть общего решения 
3 .
