Целью данной работы является создание программного продукта для участия в конкурсе, проводимом группой компаний «Траст» по созданию программных разработок. Для реализации было выбрано следующее технической задание:

Задание 12 Вычисление интегралов методом Монте – Карло.

Цель:

1) Реализация генератора случайных чисел для метода Монте – Карло.

2) Сравнение равномерного распределения и специально разработанного.

3) Вычисление тестового многомерного интеграла в сложной области.

Продукт:

1) Программный код в виде функции на языке С++ или Fortran .

2) Тестовые примеры в виде программы, вызывающие реализованные функции.

3) Обзор использованной литературы.

Для реализации данного технического задания был выбран язык C++. Код реализован в интегрированной среде разработки приложений Borland C++ Builder Enterprises и математически обоснован соответствующий способ вычисления интеграла.

1. МАТЕМАТИЧЕСКОЕ ОБОСНОВАНИЕ АЛГОРИТМА ВЫЧИСЛЕНИЯ ИНТЕГРАЛА

1.1 Принцип работы метода Монте – Карло

Датой рождения метода Монте - Карло признано считать 1949 год, когда американские ученые Н. Метрополис и С. Услам опубликовали статью под названием «Метод Монте - Карло», в которой были изложены принципы этого метода. Название метода происходит от названия города Монте – Карло, славившегося своими игорными заведениями, непременным атрибутом которых являлась рулетка – одно из простейших средств получения случайных чисел с хорошим равномерным распределением, на использовании которых основан этот метод.

Метод Монте – Карло это статистический метод. Его используют при вычислении сложных интегралов, решении систем алгебраических уравнений высокого порядка, моделировании поведения элементарных частиц, в теориях передачи информации, при исследовании сложных экономических систем.

Сущность метода состоит в том, что в задачу вводят случайную величину

, изменяющуюся по какому то правилу

. Случайную величину выбирают таким образом, чтобы искомая в задаче величина

стала математическим ожидание от

, то есть

Таким образом, искомая величина

определяется лишь теоретически. Чтобы найти ее численно необходимо воспользоваться статистическими методами. То есть необходимо взять выборку случайных чисел

объемом

. Затем необходимо вычислить выборочное среднее

варианта случайной величины

по формуле:

. (1)

Вычисленное выборочное среднее принимают за приближенное значение

Для получения результата приемлемой точности необходимо большое количество статистических испытаний.

Теория метода Монте – Карло изучает способы выбора случайных величин

для решения различных задач, а также способы уменьшения дисперсии случайных величин.

1.2 Применение метода Монте – Карло для вычисления n – мерного интеграла.

Рассмотрим n – мерный интеграл

для

. (2)

Будем считать, что область интегрирования

, и что

ограниченное множество в

. Следовательно, каждая точка х множества

имеет n координат:

Функцию

возьмем такую, что она ограничена сверху и снизу на множестве

Воспользуемся ограниченностью множества

и впишем его в некоторый n – мерный параллелепипед

, следующим образом:

где

- минимумы и максимумы, соответственно,

- ой координаты всех точек множества

Доопределяем подынтегральную функцию

таким образом, чтобы она обращалась в ноль в точках параллелепипеда

, которые не принадлежат

(3)

Таким образом, уравнение (2) можно записать в виде

. (4)

Область интегрирования представляет собой n – мерный параллелепипед

со сторонами параллельными осям координат. Данный параллелепипед можно однозначно задать двумя вершинами

, которые имеют самые младшие и самые старшие координаты всех точек параллелепипеда.

Обозначим через

n-мерный вектор, имеющий равномерное распределение в параллелепипеде

, где

Тогда ее плотность вероятностей

будет определена следующим образом

(5)

Значение подынтегральной функции

от случайного вектора

будет случайной величиной

, математическое ожидание

которой является средним значением функции на множестве

. (6)

Среднее значение функции на множестве

равняется отношению значения искомого интеграла к объему параллелепипеда

(7)

Обозначим

объем параллелепипеда

Вычисление интегралов методом Монте-Карло (стр. 1 из 3)

ВВЕДЕНИЕ

1. МАТЕМАТИЧЕСКОЕ ОБОСНОВАНИЕ АЛГОРИТМА ВЫЧИСЛЕНИЯ ИНТЕГРАЛА

1.1 Принцип работы метода Монте – Карло

1.2 Применение метода Монте – Карло для вычисления n – мерного интеграла.