Приближённое решение алгебраических и трансцендентных уравнений (стр. 3 из 3)
Схема решения уравнения методом хорд и касательных
1. Вычислить значения функции
и 
.2. Проверить выполнение условия
. Если условие не выполняется, то неправильно выбран отрезок 
.3. Найти производные
и 
.4. Проверить постоянство знака производных на отрезке
. Если нет постоянства знака, то неверно выбран отрезок .5. Для метода касательных выбирается за
тот из концов отрезка , в котором выполняется условие 
, т.е. 
и 
одного знака.6. Приближения корней находятся:
а) по методу касательных:
,б) по методу хорд:
.7. Вычисляется первое приближение корня:
.8. Проверяется выполнение условия:
, где 
- заданная точность.Если условие не выполняется, то нужно продолжить применение метода по схеме 1-8.
В этом случае отрезок изоляции корня сужается и имеет вид
. Приближённые значения корня находятся по формулам: 
и 
.Вычисления продолжаются до тех пор, пока не будет найдено такое значение
, при котором 
и 
совпадут с точностью .Пример. Решить уравнение 
методом хорд и касательных с точностью 0,001, если известно, что корень уравнения 
.
Решение.
1. Вычислим значения функции
на концах отрезка: 
, 
.2. Проверим выполнение условия:
- условие выполняется.3. Найдём производные:
и 
. 4. На отрезке
производные 
и 
, т.е. сохраняют знак, следовательно, условие выполняется.5. Выберем значение
для метода касательных. Т.к. 
и 
, то 
.6. Найдём приближения корня:
а) по методу касательных:
б) по методу хорд:
.7. Найдём первое приближение корня:
.8. Проверим выполнение условия:
- условие не выполняется, значит нужно продолжить вычисления.9. Отрезок изоляции корня имеет вид:
.10. Продолжим уточнение корня по схеме. Для этого найдём значения функции на концах суженного отрезка:
, 
.11. Проверим условие:
- выполняется, значит можно продолжить применение метода. 12. Так как
и 
на отрезке 
, то для метода касательных: 
.13. Вычислим значение производной:
.14. Найдём новые значения концов отрезка изоляции:
, 
.15. Найдём второе приближение корня:
.16. Проверим выполнение условия:
- неравенство неверное, значит необходимо продолжить вычисления.17. Отрезок изоляции корня имеет вид:
.18. Вычислим значения функции:
, 
.19. Условие
- выполняется.20. Так как
и 
на , то для метода касательных 
.21. Вычислим производную:
.22. Вычислим:
, 
.23. Найдём третье приближение корня:
.24. Проверим выполнение неравенства:
- условие выполняется, значит, цель достигнута.25. Следовательно,
или 
- приближённое значение корня с точностью до 0,001.Ответ:
.9. Задания для расчётных работ.
Решить уравнение методами:
а) бисекции,
б) хорд и касательных.
| Вариант | Вид алгебраического уравнения | Корень, который необходимо вычислить |
| 1 |  | единственный |
| 2 |  | единственный |
| 3 |  | единственный |
| 4 |  | единственный |
| 5 |  | единственный |
| 6 |  | единственный |
| 7 |  | единственный |
| 8 |  | единственный |
| 9 |  | положительный |
| 10 |  | единственный |
| 11 |  | положительный |
| 12 |  | единственный |
| 13 |  | больший отрицательный |
| 14 |  | единственный |
| 15 |  | единственный |
| 16 |  | единственный |
| 17 |  | единственный |
| 18 |  | единственный |
| 19 |  | единственный |
| 20 |  | единственный |
| 21 |  | единственный |
| 22 |  | меньший положительный |
| 23 |  | единственный |
| 24 |  | меньший положительный |
| 25 |  | единственный |
| 26 |  | единственный |
| 27 |  | единственный |
| 28 |  | единственный |
| 29 |  | единственный |
| 30 |  | единственный |
| 31 |  | меньший положительный |
| 32 |  | единственный |
| 33 |  | больший отрицательный |
| 34 |  | единственный |
| 35 |  | единственный |
| 36 |  | единственный |
| 37 |  | меньший положительный |
| 38 |  | единственный |
| 39 |  | единственный |
| 40 |  | единственный |