Приближённое решение алгебраических и трансцендентных уравнений (стр. 2 из 3)
, 
, 
, 
- заданная точность результата не достигнута, продолжим вычисления. 
, 
, 
, 
. 
, 
, 
, 
. 
, 
, 
, 
. 
, 
, 
, 
. 
, 
, 
, 
. 
, 
, 
, 
. 
, 
, 
, 
. 
, 
, 
, 
. 
, 
- заданная точность результата достигнута, значит, нашли приближённое значение корня 
.Ответ: корень уравнения
с точностью до 0,001.5. Метод хорд (секущих).
Этот метод применяется при решении уравнений вида
, если корень уравнения отделён, т.е. 
и выполняются условия:1)
(функция 
принимает значения разных знаков на концах отрезка 
);2) производная
сохраняет знак на отрезке 
(функция либо возрастает, либо убывает на отрезке ).Первое приближение корня находится по формуле:
.Для следующего приближения из отрезков
и 
выбирается тот, на концах которого функция имеет значения разных знаков.Тогда второе приближение вычисляется по формуле:
, если 
или 
, если 
.Вычисления продолжаются до тех пор, пока не перестанут изменяться те десятичные знаки, которые нужно оставить в ответе.
6. Метод касательных (Ньютона).
Этот метод применяется, если уравнение
имеет корень 
, и выполняются условия:1)
(функция принимает значения разных знаков на концах отрезка );2) производные
и 
сохраняют знак на отрезке (т.е. функция либо возрастает, либо убывает на отрезке , сохраняя при этом направление выпуклости).На отрезке
выбирается такое число 
, при котором 
имеет тот же знак, что и 
, т. е. выполняется условие 
. Таким образом, выбирается точка с абсциссой , в которой касательная к кривой 
на отрезке пересекает ось 
. За точку сначала удобно выбирать один из концов отрезка.Первое приближение корня определяется по формуле:
.Второе приближение корня определяется по формуле:
.Вычисления ведутся до совпадения десятичных знаков, которые необходимы в ответе, или при заданной точности
- до выполнения неравенства 
.Достоинства метода: простота, быстрота сходимости.
Недостатки метода: вычисление производной и трудность выбора начального положения.
7. Комбинированный метод хорд и касательных.
Если выполняются условия:
1)
,2)
и 
сохраняют знак на отрезке 
,то приближения корня
уравнения 
по методу хорд и по методу касательных подходят к значению этого корня с противоположных сторон. Поэтому для быстроты нахождения корня удобно применять оба метода одновременно. Т.к. один метод даёт значение корня с недостатком, а другой – с избытком, то достаточно легко получить заданную степень точности корня.